文档介绍：正交矩阵线性代数
第1页，本讲稿共17页
一、内积及其性质
定义1 设有n维向量 , ,
则正交矩阵线性代数
第1页，本讲稿共17页
一、内积及其性质
定义1 设有n维向量 , ,
则称为向量与的内积，
记为，即
第2页，本讲稿共17页
内积的运算性质
第3页，本讲稿共17页
定义2 设
长度
范数
向量的长度具有下述性质：
(
)
,
,
2
2
2
2
1
n
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
=
L

第4页，本讲稿共17页
解
单位向量
夹角
第5页，本讲稿共17页
１正交的概念
２正交向量组的概念
正交
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
二、正交向量组
第6页，本讲稿共17页
证明
３正交向量组的性质
定理1
第7页，本讲稿共17页
4 标准正交化方法
下面介绍施密特正交化方法
第8页，本讲稿共17页
(2) 单位化 , 取
(1) 正交化 , 取，
第9页，本讲稿共17页
例２用施密特正交化方法，将向量组
标准正交化.
解先正交化，
取
施密特正交化过程
第10页，本讲稿共17页
再单位化，
得标准正交向量组如下
第11页，本讲稿共17页
解
第12页，本讲稿共17页
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
第13页，本讲稿共17页
定义3
三、正交矩阵及其性质
(4) 方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
正交矩阵还具有下述性质：
(1) 若A为正交矩阵，则
(2) 若A为正交矩阵，则
(3) 若A，B为同阶数的正交矩阵，则AB为正交矩阵；
第14页，本讲稿共17页
解
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
例4 判别下列矩阵是否为正交阵．
第15页，本讲稿共17页
所以它是正交矩阵．
由于
第16页，本讲稿共17页
定义4 若为正交阵，则线性变换称为正
交变换．
性质正交变换保持向量的长度不变
证明
第17页，本讲稿共17页