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的标准正交基
两组标准正交基间的过渡矩阵
正交矩阵及其性质
求标准正交基的方法
【注】1°标准正交基不唯一;
2°特点:设是的一组标准正交基,
则
例如
定义1中的n个向量满足
(1)两两正交
(2)都是单位向量,即
则称
为
的一组标准正交基.
设
一、的标准正交基
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设与是的两组标准
正交基,令
,由到
的过渡矩阵为Q,即=Q,则
证明:因为=Q,则T=QTT,所以
T=QTTQ,
又因为
与
均为标准正交基,
所以T=E,T=E,
故
性质
(1)n阶矩阵Q为正交矩阵
(2)Q为正交矩阵,则也是正交矩阵;
(3)若P,Q都是n阶正交矩阵,则PQ也是n阶正交矩阵;
定义2实数域R上的n阶矩阵Q满足
称Q为正交矩阵.
则
如果,则Q为正交矩阵.
进而,给出等价定义:
(4)Q为正交矩阵,则
三、正交矩阵及其性质
1°若和均是的标准正交基,则过渡矩阵Q是正交矩阵.
2°若是标准正交基,Q是正交矩阵,则是标准正交基.
3°若是标准正交基,Q是正交矩阵,则是标准正交基.
小结:设
定理设
,则
为正交矩阵
为的一组标准正交基.
列向量组
为的一组标准正交基.
行向量组
例1设是的一组标准正交基,证明
是一组标准正交基.
证明:设
则
且
即Q为正交矩阵,
所以
是一组标准正交基.
例2设A,B为同阶正交矩阵,下面错误的是()
(1)A-1为正交矩阵;
(2)A*为正交矩阵;
(3)AB为正交矩阵;
(4)A+B为正交矩阵。
答:(4)不正确。
例3设
设三维向量的长度
||||=8,则||P||=?
【注】设,为n维向量,在n阶正交矩阵A的作用下
||A||=||||,且T=(A)T(A).
向量在正交矩阵A作用下变为A称为正交变换.
四、求标准正交基的方法

设
是Rn中一组给定的基,
令
即
……,
则是与等价且两两正交的向量组.
,求标准正交基的步骤:
1°用施密特正交化方法,将其化为正交向量组;
2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
例4已知是的一组基,
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。