文档介绍：第七章:粒子在电磁场中的运动
[1]证明在磁场中,带电粒子的速度算符的各分量,满足下述的对易关系:
(1)
(2)
(3)
[证明]根据正则方程组:
,
同理
是正则动量,不等于机械动量,将所得结果代入(1)的等号左方:
= (4)
正则动量与梯度算符相对应,即,因此
又仅与点的座标有关
(因)
其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式,求出均匀磁场中,带电粒子能量的本征值(取磁场方向为Z轴方向)
(解)设磁场沿Z轴方向,
矢势的一种可能情形是
在本题的情形,哈密顿算符是:(前题)
速度算符间的对易式是:
根据(),分别和,对易,因此与对易,而:
与
有共同的本征函数,的本征值是本征值之和。
但,这和有心力势场一样是完全集合,(6)式是一个平面谐振子(二维)的能量算符和一个角动量分量算符之和,(15)题,(6)式中的本征值是(7)
又这个能量算符的本征值是可以连续取值的,它和沿z轴作自由运动的粒子的动能算符一样,因而有:
但取间任何值,E是连续谱。
(3)证明在规范变换下
(1)
(2)
(机械动量的平均值)都不变(3)
(证明)如课本证明,要规范变换下,若将体系的波函数作以下变换(P243。17式)
(4)
则薛定谔方程形式不变,将(4)代入(1)式等号右方,设变换后儿率密度:
又设变换后儿率流密度是,将(4)代入(2)式右方,同时又代入
(5)
注意到算符的对易关系
推广到三维: (6)
令则有:
(7)
(8)
将(7)(8)代入(5)式等号右方第一项第二项,(5)式成为:
(9)
在证明第3式时,设变换后的是。写出右方平均值的显式,用(4)的波数变换,和的矢势的变换式:
前式第一个积分可重复用(7)式,得:
命题得证
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[4]若采用柱座标系,求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。
(解)设粒子的柱座标是,取矢势的柱座标的分量度为
柱座标的梯度算符证明为以下形式
(1)
式中的是一点上沿等势面作出的单位矢量,但和直角坐标的单位矢量不同,,方向随着点变化,而且它们对的导数也不是零,能证明:
,
参看附图计算哈氏算符:(要计及单位矢导数)
(少图) (2)
观察(2)知道=0, =0 ,但
=,=,因此,有共同本征函数,取(,)完全集合表示态,而波函数可含有,的本征函数作为其因式
= (3)
但m=0,… k=任何值。
将(3)代入的本征方程式:
(4)
在消去与和z有关系的公因式后得
(5)
令
作自变量变换,则有:
代入(5)得
(6)
式中(7)
其次求(6)的关于奇点上的近似解
时,(6)成为:
渐近解
时,(6)成为:
渐近解,所以方程式(6)的特解可假设为:
(8)
将(8)代入(6)后得关于的微分方程:
(9) 这属于合流超几级数,后者的一般形式是: (10) 后者的解是合流超几级数;它表示为: (11)
由于对比系数知道(9)的解是(12)
但从收敛的性质说,合流超几何级数的邻项比是(取极限),这和已知函数邻项比极限