文档介绍：[1]质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系,质心座标标为:
= (1)
r (2)
试求总动量及总角动量在, 表象中的
算符表示。
[解] (a)合动量算符。根据假设可以解出,
令: (3)
(4)
设各个矢量的分量是,,
和。为了计算动量的变换式先求对,
等的偏导数:
(5)
(6)
关于,,, 可以写出与(5)(6)类似的式子,因而:
=
(b)总角动量
=
利用(3),(4),(5),(6):
=
=
=
因而
[2]证明,
(证明)第一式
=
但
+
=
+
即
=
同样写出关于y,z的式子,相加得:
+
=
=
因是任意函数,因而第一式得证。
第二式的证明:该式是矢量的恒等式,取等式左方一式的x分量
并蒋它运算于任何函数,要注意标量算符而是矢量算符:
=
}
=
因此在出写出关于y,z的式子后有
[3]中心力场中的经典粒子的哈密顿量是
其中。当过渡到量子力学时,要换为
问是否厄米算符?是否厄米算符。
(解)对第一个算符取厄米共轭算符,加以变换,看其是否与原
算符相等,为此利用乘积的厄米算符公式
()=
若,则
因为,,等自身是厄米的,因而有
要看出,的关系将作用于任意函数:
=
=
=
即,因而不是厄米算符。因为
利用以上结果,或者直接对取厄米共轭式,都证明
因此可认为是厄米的,证明在后面,但是关于这问题学术上有争论,
因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。
CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(1973)
=
=
CfAMessian:Quantum anics P346(1961)
[4]经典力学中
在量子力学中此式是否成立?在什么条件下此式成立?
(解)
=
+
+
=
+
+
=
~206~ 物83—309蒋
最后一式加上下述这个等于零的式子:
得:
因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同,只有=0才相同。
[5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结
果,计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关
系式。
(解)本题是三维问题,氢原子基态波函数用座标表象时写作:
(1)
但是玻尔半径,将(1)代入三维的座标,动量波函数变换式,
此式是:
(2)
为使计算简单,可选择z轴与动量的瞬时方向重合,这样
~207
将(2)中的用(1)式代入,进行积分,积分的次序是,,r:
=
=
=
=
= (3)
其次为了验证氢原子的测不准关系,需要计算座标动量的平均值,计
算与座标有关的平均值时,用为波函数,反之计算动量平
均值时,可用动量波函数:测不准关系的验证,是通过一个指
定方向(如x轴)的分量间关系:
~208~ 物83 –309蒋
=
=
= (4)
在计算动量有关平均值时,可采用动量相空间的球面极座标参考系,
设动量相空间直角坐标为,,则球面极座标用表
示,
=
(5)
~209~
=
(6)
与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分,得:
=
= 代入(6)得:
=
代入测不准关系式:
[6]在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式,并证明角动
量的各个分量均为守恒量。
(解)(一)建立动量表象的能量本征方程式,势能
为此先写下座标表象的薛氏方程式(直角坐标还是球面极座标不分):
遍乘,并对座标积分:
(1)
等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述
福里哀变换,就得到动量表象的能量本征方程:
(2)