文档介绍：第三章: 一维定态问题
[1]对于无限深势阱中运动的粒子(见图3-1)证明
并证明当时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数:
(1)
先计算坐标平均值:
利用公式:
(2)
得(3)
计算均方根值用以知,可计算
利用公式(5)
(6)
在经典力学的一维无限深势阱问题中,因粒子局限在(0,a)范围中运动,各点的几率密度看作相同,由于总几率是1,几率密度。
故当时二者相一致。
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[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。
[解] (甲法):根据波函数标准条件,设定各区间的波函数如下:
(x<0区): (1)
(0<x<a区): (2)
(x>a区): (3)
但
写出在连接点x=0处连续条件
(4)
(5)
x=a处连续条件
(6)
(7)
(4)(5)二式相除得
(6)(7)二式相除得
从这两式间可消去B,C,得到一个间的关系
解出,得
(8)
最后一式用E表示时,就是能量得量子化条件:
(乙法)在0<x<a区间中波函数表示为
现在和前一法相同写出边界条件:
(在x=0处) (9)
(10)
(在x=a处) (11)
(12)
(9)(10)相除得
(13)
(11)(12)相除得
(14)
写出(13)(14)的反正切关系式,得到:
或
前述两法的结果形式不同,作为一种检验,可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件,等号左右方取其正切:
左方
此结果与第一法相同。
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[3]设质量为m的粒子在下述势阱中运动:
求粒子的能级。
(解)本题是在半区中的一维谐振子,它的薛定谔方程式
在x>0的半区内与普通谐振子的相同,在负半区中。
一般谐振子的函数ψ(x)满足薛氏方程式:
(1)
作自变量变换()
并将波函数变换:
得u的微分方程: (2)
但(3)
设(2)的解是级数: (4)
将(4)代入(2)知道,指标s的值是s=1或s=0。
此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种:
s=0时, (5)
s=1时, (6)
为了使波函数ψ(x)满足标准条件,级数(4)必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件(波函数连续性),x=0时ψ(x)=0,即u(0)=0。因而必需取s=1,它的递推式是(6),因此如果级数(4)中断,而(4)的最高幂是n=2m,在(4)式中取s=1,,,则在(6)式中取n为最高幂时:
由(3)得
(7)
式中的m=0,1,2,3,4,……
(7)式即我们需求的粒子的能级。
本题的波函数是
但
是归一化常数,是奇阶数厄米多项式。
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[4]考虑粒子在下列势阱壁(x=0)处的反射系数。
(解)本题中设想粒子从左侧入射。
在(x〈0〉区中有入射反射波
(1)
在(x>0区)中仅有透射波
(2)
但
考虑在原点0(x=0)处波函数(x)和一阶倒数(x)的连接性,有:
即(3)
即(4)
因按题意要计算反射系数R,
同理(5)
,若求比值,可从(3)(4)消去C,得到:
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[5]试证明对于任意势垒,粒子的反射系数T满足R+T=1。
(解)任意的势垒是曲线形的,如果V(x)没有给定,则(x)不能决定,因而无法计算各种几率流密度。但如果附图所示V(x)满足二点特性:
(1)
(2)
我们近似地认为当时波函数的解是
时波函数的解是
但由于粒子几率流的守恒(V(x)是实数函数):在数量上入射几率流密度应等于反射的和透射的的和,即:
(1)
仿前题的算法,不必重复就可以写出:
(2)
这里的(1)(2)是等效的,将(1)遍除得:
即得证
将(2)式遍除得另一种形式:
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[6]设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用:
描述,求粒子能量的可能植及相应的几率。
(解)(甲法)一维无限深势阱的本征态波函数是
(1)
题给波函数可用本征函数展开:
因此是非本征态,它可以有二种本征态,处在
态上的几率是。这时能量是,处在
态上的几率是,这时能量是。
(乙法)可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C,其余同。按一般原理,将已知函数展开成算符的分立本数谱时,有
在本题中,有
按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1,或3。
,其余与甲法同。
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[7]设一谐振子处于基态,求它的并验证测不准关系:
(解)由对称性知道,同理也由对称性知道对谐振子而言,应先写出归一