第十二讲 矩阵分解之二.pdf

文档介绍：矩阵分析与应用
第十二讲矩阵分解之二
信息工程学院
吕旌阳
2006-12-12
本讲主要内容
„ 矩阵的QR分解
„ 矩阵的满秩分解
„ 矩阵的奇异值分解
2006-12-12
Householder
2
在平面R 中,将向量 x 映射为关于e1 对称的
向量y的变换,称为是关于e1 轴的镜像(反射)变换
ξ
设,有x = 1
ξ2
ξ1 10ξ1  T
y = = =−(IeexHx2 22) =
−ξ2 01−ξ2 
其中,T , 是正交矩阵,且 H = −1
e2 = [01] H
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Householder
将向量 x 映射为关于“与单位向量u正交的直线”
对称的向量y的变换, xy−=2 uux( T )
yx=−2 uux( T ) =−(IuuxHx2 T ) =
显然,H是正交矩阵
定义:设单位列向量uR∈ n ,称 H = Iuu− 2 T
为Householder矩阵(初等反射矩阵),由H矩阵确定
的线性变换称为Householder变换。
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Householder
T n 是单位列向量
Hun= Iuu− 2 ( uR ∈)
(1) H = H T 对称(2) H T HI = 正交
(3) H 2 = I 对合(4) H − 1 = H 自逆
(5) det H =− 1 自逆
验证(5):
IIu02Iuu−20T  IIu02 Iu2 
TT T = TT= T
−u 10 1 u 1−uu1101−
T Iu2
Iuu− 20= =−1
uT 1 01T −
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4:Rn 中(nx>∀≠∀1,) 0, 单位列向量 z
⇒∃Huu,st Hx = xz
证明:(1) xxzn => :1 时,取单位向量u使得 ux⊥,
TT
于是 Huu=−IuuHxIxuuxxxz2: = − 2 = =
x − xz
(2) x ≠ xz : 取有u = ,
x − xz
T
()xxzxxz−−( )  2,(xxzx−)
=−x xxz −
HuxI=−2 2 x 2 ()
 xxz−
 xxz−
=−×−xxxz1 ()= x z
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1
2:求x = 2, H-矩阵H 使得
例 Hxxe= 1
2
−2 1 −1
解:xxxe=−3,1 = 2, u =  1 
 2  3  1 
2−1 1 12 2
HI=−1111[] −= 21− 2
3 3
1 221−
Hxe= 3 1
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GH-
: 矩阵 Tcs( , )
5G- ij ⇒∃H-矩阵Hu 与Hvijuv,stTHH=
s
证明:cs22+=⇒1 取θ= arctan , 则 cosθ= cs ,sinθ=
c
I
cosθθ sin (i )
Tcsij (,)= I
−sinθθ cos (j )
I
T
θθ
v = 00sin00cos00
 44
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O 
θθθ
I sin2 sin cos
1  444
Hv =−IO2
1 θθθ
sin cos cos2
I 
 44 4 
 O
I 
θθ
cos− sin
 22
=  I 

−−sinθθ cos 
 22
 I
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T
 33θθ
u= 00sin00cos00
 44
I 
 33θθ
cos− sin
 22
Hu =  I ,
 33
−−sinθθ cos 
 22
 I
Tcsij (,)= HHuv #
[注] H-矩阵不能由若干个G矩阵的乘积来表示。
因为detH = − 1, 而 detG = 1
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