文档介绍：三角形及其全等、相似
【基础知识】
(1)三角形
①三角形的任意两边之和大于第三边;
②三角形的任意两边之差小于第三边;
③三角形三个内角的和等于180°;
④三角形三个外角的和等于360°;
⑤三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;
⑦三角形的角平分线、中线、高;
⑧三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等;
⑨三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三角形三边的距离相等;
⑩连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
(2)等腰三角形
等腰三角形的判定:
①有两边相等的三角形是等腰三角形;
②有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边);
③三边相等的三角形是等边三角形;
④3个角相等的三角形是等边三角形;(补充内容)
⑤有2个角等于60°的三角形是等边三角形;(补充内容)
⑥有1个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.(补充内容)
等腰三角形的性质:
①等边对等角;
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
③等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴;
④等边三角形的三个内角都等于60°.
(3)直角三角形
直角三角形的判定:
①有一个角是直角的三角形是直角三角形;
②有两个角互余的三角形是直角三角形;
③勾股定理的逆定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的性质:
①直角三角形的两个锐角互余;
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
③在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;(补充内容)
④勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(4)全等三角形
全等三角形的性质
①全等三角形对应边相等;
②全等三角形对应角相等.
全等三角形的判定
SAS, ASA, AAS, SSS, HL.
(5)相似图形
①比例线段,若(或a:b=c:d),则四条线段a、b、c、d叫做成比例线段.
②若(或a:b=b:c),则线段b叫做线段a、c的比例中项.
③比例基本性质
如果,那么.
如果(b、d都不等于0),那么.
④黄金分割
点C把线段AB分成两部分,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C为线段AB的黄金分割点,,这个比值称为黄金比.
⑤相似多边形的对应边成比例,对应角相等.
⑥相似三角形的判定:
Ⅰ.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;
Ⅱ.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;
Ⅲ.如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么这两个三角形相似;
Ⅳ.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
Ⅴ.如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(补充内容)
⑦相似三角形的性质
Ⅰ.相似三角形的对应边成比例,对应角相等;
Ⅱ.相似三角形的对应中线的比,对应角平分线的比,对应高的比,对应周长的比都等于相似比;
Ⅲ.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
⑧射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;每一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.(补充内容)
⑨平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
⑩位似:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似形,这个交点叫做位似中心.
【典型习题】
例1 如图5-1-1,△ABC的两个外角平分线相交于点D,∠A=80°,则∠BDC=
A
B
C
D
图5-1-2
图5-1-3
图5-1-1
【分析】要求∠BDC,只要求∠DBC与∠DCB的和,而已知∠A=80°,可依次根据三角形内角和、外角、角平分线求出∠DBC与∠DCB的和.
【解】50°
【说明】本题涉及三角形内角和、角平分线、外角等基本知识,在基础题考查中具有典型意义,还可补充以下变式:
变式1:如果∠A=n°,则∠BDC= °.
变式2:如图5-1-2,△ABC的两内角平分线相交于点D,∠A= n°,则∠BDC= °.
变式3:如图5-1-3,△ABC的一个内角和一个外角的平分线相交于点D,
∠A= n° ,则∠BDC= °.(用含n的代数式表示).
例2 一个等腰三角形的一条边长为10,另一条边长为