文档介绍：一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的）
1. sin 390° =( )
1 1
A. — B.
「V3
D.—四
2 2
2
2
3
(2, 3),且点F (2, 0)为其右焦点。
求椭圆C的方程；
是否存在平行于OA的直线Z,使得直线Z与椭圆C有公共点，且直线OA与/的距离等于4?若存在，求出直线Z的方程；若不存在，请说明理由。
【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
2 2
【解析】(1)依题意，可设椭圆C的方程为乌+ L = l(a>0,b>0),且可知左焦点为
a b
c=2
2 定 |AF|+|AF'|=3+5=8
另一方面,由直线OA与I的距离4可得:
KI
=4,从而t=±2瑚2,
F (・2, 0),从而有v
Xa2=b2+c2,所以J=12,故椭圆C的方程为丈+己=1.
16 12
3
(2)假设存在符合题意的直线L其方程为y=jX+t,
3
y=—x-H
由，
.2 . 得 3x2+3tx+t2-12=0,
土+」1
116 12
因为直线/与椭圆有公共点，所以有A = Gt)?4x3(t2-12)＞0, 解得-4*^/^ Wt〈4"'^,
由于±2面£[-4书,4右],所以符合题意的直线Z不存在。
1S.(本小题满分13分)
如图，圆柱00]内有一个三棱柱ABC-A^jCp三棱柱的底面为圆柱
底面的内接三角形，且AB是圆0直径。
(I )证明：平面 AACC, ±5FffiB1BCC1；
(II)设AB=AAi，在圆柱00]内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-AiBiG内的概率为p。
当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
记平面A]ACC]与平面BQC所成的角为。(0°＜。＜90°),当p取最大值时，求cos。
的值。
【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【解析】(I)因为AAj 1平面ABC, BCc=平面ABC,所以AA； 1 BC ,
因为AB是圆O直径，所以BC 1 AC ,又ACcAA]=A,所以BC ±平面A]ACC】, 而BCu平面B]BCC],所以平面A]ACC] J_平面B]BCC]。
(II) (i)设圆柱的底面半径为r,则AB=AA|=2r,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
V] = ： AG BC • 2r =ACBCr,又因为 AC2 + BC2=AB2=4r2,
A「2+r「2
所以AC -BC < = 2?，当且仅当AC=BC=J^r时等号成立，
2
从而y < 2r3,而圆柱的体积V=%=2mr3,
故p = % 当且仅当AC=BC=J祐,即0C 1AB时等号成立，
V 2^r3 71
所以p的最大值是上。
71
(ii)由(i)可知，p取最大值时，0C1AB,于是以0为坐标原点