文档介绍：§ 空间点、直线、平面之间
的位置关系
要点梳理
公理1:如果一条直线上的在一个平面内,
那么这条直线在这个平面内.
公理2:过的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有过该点的公共直线.
两点
不共线
一条
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(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任
一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的
叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围: .
平行
相交
任何
锐角或直角
、、
三种情况.
、两种情况.
平行于的两条直线互相平行.
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么
这两个角.
平行
相交
在平面内
平行
相交
同一条直线
相等或互补
基础自测
,且三条交线互相平行,
则这三个平面把空间分成( )
解析如图所示,三个平面α、β、γ两两相
交,交线分别是a、b、c且a∥b∥、β、
γ把空间分成7部分.
C
,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条
直线的平面的个数为( )
解析以三棱柱为例,三条侧棱两两平行,但
不共面,显然经过其中的两条直线的平面有3个.
B
( )
解析如图所示,a∥b,c与d相交,a与d异面.
D
“一对”,那么在正方
体的十二条棱中共有异面直线( )
解析如图所示,与AB异面的直线
1,A1D1,DD1四条,
因为各棱具有相同的位置且正方体
共有12条棱,排除两棱的重复计
算,共有异面直线
B
.
①没有公共点的两条直线是异面直线;
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则
它和另一条直线不可能平行;
④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可
以确定两个平面.
解析没有公共点的两直线平行或异面,故①错;
命题②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,
因为若直线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,
用反证法证明如下:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这
与a,b异面矛盾,故c b;命题④也正确,若c与两
异面直线a,b都相交,由公理3可知,a,c可能确定
一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确
定两个平面.
答案①②
题型一平面的基本性质
如图所示,空间四边形ABCD
中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,
且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,
CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平
面交AD于H,连接EH.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH、FG、BD三线共点.
证明线共点的问题实质上是证明点在
线上的问题,其基本理论是把直线看作两平面
的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.
题型分类深度剖析