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必修⑤第二章数列知识总结
1. 一、等差数歹0等差数列定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数
列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,|||,n｝的函数当
自变量从小n=a〔q—；n_rn_n_man变式：a^=amq；q=—(n>m;m、n-N)：
Sn=
a〔(1-qn
1-q
)_ai-anq
一i-q
(q=1)；
注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论S1n
4. 当公比q#1时，丑=二_^Sm1一q等比中项
若a,G,b成等比数列，贝UG为a,b的等比中项，即G=土Jab,ab》0.
5. 性质..
在等比数列<an｝中，有
(1) 若m+n=p+q,m,n,p,qwN*,贝Uaman=apaq；
当m+n=2p时，aman=a：；
若｛an｝,｛bn｝成等比数列，则｛|an|｝｛kan｝,｛a；｝｛an如号九小?［也成等比数列;anbn
(2) 若q为｛an｝的公比，则其子序列ak,ak4m,ak^m,川也成等比数列，公比为qm；
(即序号成等差数列的项按原次序构成新的等比教列)
6. 片段和：Sm,S2m—Sm,S3m—S2m,…也成等比数列，且公比为qL常用结论、技巧：
(1) ①Sm.=Sm+qm&=Sn+qnSm②&=&加0“=S?n"20
(2) 前n项和公式，一定要分q=1或q#1两种情况.
设元技巧：三个数成等比数列，通常设为a,a,aq;q四个数成等比数列，不能设为号产，aq,aq3,只有当q>0时才可以.
qq
(3) 等比数列稣｝的单调性
①当a1A0,q>1或％<0,0<4<1时，等比数列〈a」为递增数列；
② 当ai》0,0<q<1或a〔<0,qA1时，等比数列么」为递减数列;
③ 当q=1时，等比数列匕｝为常数列；
④ 当q<0时，等比数列&n｝为摆动数列.
(4) 有限项等比数列中，设“偶数项和”为S偶,“奇数项和”为
① 若总项数为偶数2n,则S偶=qS奇；
② 莅总项效为奁数…一2n—1?…S奇=a1+qS偶.
三、数列求和的方法：
(1)等差数列｛an｝的前n项和公式(三种形式)；
(2) 等比数列｛an｝的前n项和公式(三种形式)；
几个重要公式1+3+5+HI+(2n+1)=(n+1)2122232山n2=1n(n1)(n2)622132333H)n3=——)-：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项
与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).
3. 如：在1和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，：适用于｛bnCj的数列；其中｛禹｝成等差数列，｛C」成等比数列.
记Sn+烷『+川+bn』Cnu+bnCn；则qSn=b《2+11+bnCn矿
4. (这也是等比数列前n和公式的推导方法之一)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，：
^^=