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线性代数复习要点
第一部分行列式线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖
线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，
称为行最简形矩阵
初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
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☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.
注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
矩阵的秩关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式 (存在的话) 全部为0；
②、，的阶子式全部为0；
③、，中存在阶子式不为0；
☻矩阵的秩的性质：
① ≥; ;≤≤
②
③
④
⑤ ≤
⑥ 若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若；
若
⑧ 等价标准型.
⑨ ≤, ≤≤
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⑩ ,
☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法
6 矩阵方程的解法()：设法化成

第三部分线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间

6. 线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）
（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）
线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，
则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.
线性表示的判别定理:
可由的线性表示
由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：
①、有解
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②、
③、（全部按列分块，其中）；
④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）
2. 设的列向量为,的列向量为，
则
，
为的解

可由线性表示.
即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.
同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.
即：
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线性相关性
判别方法：
法1

法2
法3
推论
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♣ 线性相关性判别法（归纳）
♣ 线性相关性的性质
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关；单个非零向量线性