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线性代数知识点归纳(共20页).doc

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线性代数知识点归纳(共20页).doc

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线性代数知识点归纳(共20页).doc

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线性代数复习要点
第一部分 行列式线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖
线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是时,
称为行最简形矩阵
初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
()
()
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()
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘;
‚ 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.
注意: 初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
矩阵的秩 关于矩阵秩的描述:
①、,中有阶子式不为0,阶子式 (存在的话) 全部为0;
②、,的阶子式全部为0;
③、,中存在阶子式不为0;
☻矩阵的秩的性质:
① ≥; ;≤≤



⑤ ≤
⑥ 若、可逆,则; 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若;

⑧ 等价标准型.
⑨ ≤, ≤≤
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⑩ ,
☻求矩阵的秩:定义法和行阶梯形阵方法
6 矩阵方程的解法():设法化成


第三部分 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间

6. 线性方程组的解的结构(通解)
(1)齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)
(2)非齐次线性方程组的解的结构(通解)
线性表示:对于给定向量组,若存在一组数使得,
则称是的线性组合,或称称可由的线性表示.
线性表示的判别定理:
可由的线性表示
由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:
①、有解
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②、
③、(全部按列分块,其中);
④、(线性表出)
⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)
2. 设的列向量为,的列向量为,


为的解

可由线性表示.
即:的列向量能由的列向量线性表示,为系数矩阵.
同理:的行向量能由的行向量线性表示,为系数矩阵.
即:
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线性相关性
判别方法:
法1

法2
法3
推论
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♣ 线性相关性判别法(归纳)
♣ 线性相关性的性质
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关;单个非零向量线性

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