【精品】PPT课件 第一节 定积分的概念.ppt

文档介绍：第一节定积分的概念
一、引入定积分概念的实例
二、定积分的概念
三、定积分的存在定理
四、定积分的基本性质
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积
曲边梯形设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.
问题求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.
求曲边梯形的面积A的具体做法:
(1)分割
在(a,b)内插入n–1个分点
过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线,将曲
边梯形分割成n个小曲边梯形.
记每一个小区间的长度为
把区间[a,b]分成n个小区间
(2)近似、求和.
在每一个小区间[xi-1, xi]上任取一点ξi,以△xi为底边,以f(ξi)为高作小矩形,其面积为f(ξi) △,即
n个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值
我们同样可以用这种“分割,近似、求和,取极限”的方法解决变力作功的问题.
(3)取极限
记所有小区间长度的最大值为
当λ→0时和式(n个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即
引例2 变力做功
设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做的功就是
w=F·s.
但实际问题中,物体在运动中受力常常不是恒力,(s)是位移s的连续函数,物体位移区间为[a,b](即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).如果把位移区间分成许多小区间,总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.
计算步骤
(1)分割
以上两问题虽然不同,但解决问题的方法却相同,.