文档介绍：实变函数总结实变函数辨析题实变函数期末考试卷实变函数期末复习实变函数无限集的性质篇一:实变函数复习提纲实变函数复习提纲第一章集合 2006-7-14 一、基本概念: 集合、并集、交集、差集、余集; 可数集合、不可数集合;映射、一一映射(对应) ;集合的对等,基合的基数(势、浓度). 二、基本理论: 1 、集合的运算性质:并、交差、余集的运算性质;德一摩根公式; 2 、集合对等的性质; 3、可数集合的性质、基数: N?a 、 Q?a (a>0);4、不可数数集合的基数: R?c ( c>a>0 ). 三、基本题目 1 、集合对等的判定、求基合的基数例证明 I=(-1,1)和 R= (-∞,+∞) 是对等的, 并求 : 作映射ф: ??x??tan 因??x??tan ?2x,x∈(- 1,1) ,其值域为 R= (- ∞,+∞)、?2x ,在(- 1,1)∴?: ??x??tan ?2x 是(- 1,1 )到 R 上的一一对应,即 I= (-1,1) 1?1 ?(x)?tanx 2 由对等的定义知: I~ R. ∵I~R∴ I?R ,又 R?c ,∴ I?c. 2 集合的运算,德。摩根律的应用 3 可数数集合的判定(??,??)=R 第二章点集一、基本概念:距离、度量空间、 n 维欧氏空间;聚点、内点、界点, 开核、导集、闭包; 开集、闭集、完备集; 构成区间二、基本理论 1 、开集的运算性质;2 、闭集的运算性质 3 、直线上开集的构造; 4 、直线上闭集的构造三、基本题目 1 求集合的开核、导集、闭包, 判定开集、闭集例设E为[0, 1] 上的有理数点的全体组成的集 1 )求 E, E' ,E;2 )判定 E 是开集还是闭集,为什么? 解: 1 )对于?x?E ,x 的任意邻域 U(x) 内有无数个无理点,∴ U(x)?E ,∴x 不是_E 的内点,由 x 的任意性,知 E 无内点,∴ E??. 对于?x??0,1? , ?U(x) 内都有无数多个有理点,即有无数多个 E 的点,∴x为E 的聚点. 又在[0, 1] 外的任一点都不是 E 的聚点.∴ E???0,1?. ∵ E?E?E??E??0,1???0,1? ,∴2)E 不是开集,也不是闭集. 因为 E?? ,而 E 是非空的, ∴ E?E, ∴E 不是开集. 因为 E???0,1? ,而[0, 1] 中的无理点不在 E 内,即 E??E ,∴由定义知, E 直线上开集、闭集的构造__ E??0,1?. 第三章测度论引入: 把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度. 一、基本概念:勒贝格外测度, L 测度,可测集,可测集类 1 勒贝格外测度的定义:设E为R 中任一点集, 对于每一列覆盖 E 的开区间 UIi?E , i?1 n? 作出它的体积和?? ?I i?1?i(? 可以等于+∞,不同的区间列一般有不同的?) ,所有这一切的? 组成一个下方有界的数集,它的下确量(由 E 完全确定)称为 E 的勒贝格外测度,简称外测度或外测度,记为 m*E ,即: m*E?inf E?? ? i?1 Ii ??? I??i? ?i?1? 注: 由定义 1知:R 中的任一点集都有外测度( 一个非负数). 2 勒贝格测度、可测集的定义:设E为R 中点集, 若对任一点集 T 都有 nn m*T?m*(T?E)?m*(T?CE) (1) 则称 E为L 可测的,这时 E的L 外测度 m*E 就称为 E的L 测度, 记为 mE , 条件(1) 称为卡拉泰奥多里条件, 可测集的全体记为?. 3 可测集类 1 )零测度集类: 2) 一切区间 I(开、闭、半开半闭) 都是可测集合,且 mI?I 3 )凡开集、闭集皆可测 4 )凡博雷尔集都是可测的二、基本理论 1 勒贝格外测度的性质(1) m*E ≥0,当E 为空集时 m*E=0 (即 m*??0 );( 非负性); (2 )设 A?B ,则 m*A ≤ m*B ; (单调性) ? ? (3) m*(UAi) ≤ m*A i?1?i ; (次可数可加性) i?1 2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1)( 定理 1) 集合 E 可测←→对任意的 A?E , B?[CE ,总有 m*(A?B)?m*A?m*B 2 )余集的可测性: S 可测←→ CS 可测 3) 并集的可测性:若 S1 , S2 都可测,则 S1 ∪ S2 也可测;4) 交集的可测性:若 S1 , S2 都可测,则 S1 ∩ S2 也可测; 5) 差集的可测性:若 S1 , S2 都可测,则 S1 - S2 也可测; 6 )可列可加性:设?S? i? 是一列互不相交的可测集,则 U?1S i 也是