文档介绍：复变函数总结复数与复变函数复数几种表示代数表示几何表示:用复平面上点表示(复数、点、向量视为同一概念)三角式:指数式:辐角乘幂与方根(1)乘幂:,(2)方根:解析函数连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似函数点解析的定义:函数在一点及其点的邻域内处处可导注:(1)点解析点可导,点可导推不出点解析(2)区域内解析与可导等价定理1在可导在可微,满足C-R方程定理2在区域D内解析(可导)在区域D内可微,满足C-R方程讨论1在区域D内4个偏导数存在且连续,满足C-R方程在区域D内解析(可导)解析函数和调和函数的关系定义1调和函数:满足拉普拉斯方程,且有二阶连续偏导数的函数。定义2设是区域D内调和函数,且满足C-R方程,,则称是的共轭调和函数。定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。定理2函数在D内解析虚部是实部的共轭调和函数。3、问题:已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部)理论依据:(1)虚部、实部是调和函数。(2)实部与虚部满足C-R方程。求解方法:(例如已知)(1)偏积分法:先求,再求,得出(2)利用曲线积分:求,再(3)直接凑全微分:求,再初等函数指数函数性质:(1)是单值函数,(2)除无穷远点外处处有定义(3)(4)处处解析,(5)(6)是周期函数,周期是对数函数(多值函数)主值(枝)(单值函数)性质:(1)定义域是,(2)多值函数(3)除去原点和负实轴的平面内连续(4)除去原点和负实轴的平面内解析,,,(5)3、幂函数是复常数)(1)为正整数,函数单值、处处解析,(2)为负整数,函数单值、除去及其负实轴处处解析,4、三角函数欧拉公式或定义:性质:周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注:的有界性保护成立。复变函数的积分复积分(c的正向为逆时针方向)计算方法:(1)第二类曲线积分计算(2)化为普通定积分重要结果:(n为任意整数)二、柯西积分定理定理1(柯西积分定理)设在单连通区域D内解析,C为D内任意一条简单闭曲线,则。注:条件变为在单连通区域D内解析,在D的边界C上连续,结论成立,即。定理2设在单连通区域D内解析,则积分与路径无关。记积分为,或原函数定义结论:是的原函数。(条件:是解析函数)定理3(闭路变形原理)(柯西积分定理推广到多连通区域)是两条简单闭曲线,在内部,在所围区域D内解析,在上连续,则注:定理3说明:区域内的解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。柯西积分公式定理1(柯西积分公式)在简单闭曲线C上连续,C的内部解析(即单连通区域D内解析),是C的内部一点,则注:(1)D为多连通区域时,公式仍成立。(2)提供了计算积分的一种方法。推论1(平均值公式)设在内解析,在上连续,则定理2(最大模原理)设在区域D内解析,又不是常数,则在D内没有最大值。推论1区域D内的解析函数,若其模在D内一点达到最大值,则此函数被常数。(定理2的逆否命题)解析函数的高阶导数定理1(解析函数的高阶导数)设在简单闭曲线C所围的单连通区域D内解析,在C上连续,