文档介绍：l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
A
B
C
D
(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=;
(3)若,当变化时,说明正方形ABCD的面积S随的变化情况.
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
A
B
C
D
E
F
G
1
4
2
3

【答案】(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CG⊥l3交l3于点G,
∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即=;
(2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC,∴△AFD≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2,∴S=;
(3)由题意,得, 所以
,
又,解得0<h1<
∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小;
当h1=时,S取得最小值;
当<h1<时,S随h1的增大而增大.
3. (2011福建福州,21,12分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长;
(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,→→→停止,点自→→→,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图10-1
图10-2
备用图
【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长,则
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,、点在上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴,
∴,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得
综上所述,与满足的数量关系式是
图1
图2
图3
4. (2011广东广州市,18,9分)
如图4,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.
求证:△ACE≌△ACF.
图4
A
B
C
D
E
F
【答案】∵四边形ABCD为菱形
∴∠BAC=∠DAC
又∵AE=AF,AC=AC
∴△ACE≌△ACF(SAS)
5. (2011山东滨州,24,10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。
(第24题图)
【答案】
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,
四边形AECF是矩形………………2分
证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3分
又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5分
同理,FO=CO………………6分
∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF是矩形………………10分
6. (2011山东济宁,22,8分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,,与的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,,进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究,?如果正确,请给予证明;如果不正确,