文档介绍：最短路径问题--教学设计
2

最短路径问题
张龙乡第一初级中学
王玉
3
最短路径问题从本质上说是最值问题，
探
究
新
知
：
【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？
（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？
（2）【展示】：
让学生猜想，并画出图形。
巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。
给予学生一定的提示。
【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。
已知：直线L和同侧两点A、B
求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。
【学生展示】：
作法1：
作法2：：
学生主动探索，充分发挥学生的主动性。
展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学****欲望。
5
（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。
作法3：
【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。
第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短
第3种作法应该是正确的。
二
探
究
新
知

【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？
如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC’。其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。
也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。
让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。
让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。
7
借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。
（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？
【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇〉AC+BC即可。
（3）【几何画板】下面我们可以借助数学工具—几何画板来进一步验证一般性。
老师动手操作，验证结论的正确性。。
（1）学生自主证明，教师纠错。
（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。
（3）共同完成证明过程。
认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）

让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。
通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。
7
三
发
散
思
维
除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？
还可以作点A关于直线l的对称点。
发散思维，培养学生一题多解的能力。
四
得
出
结
论
【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？
先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。
让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好****惯。
五
范
例
分
析
1.【问题】：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。
在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
六
巩
固
练<br****br/>【题目】：如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（）
【题目】：如图，在直角三角形ABC中，角A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平