文档介绍：填空(每小题3分,共15分)
1. 设,则.
2. 已知,则.
3. 已知在整个xOy面内与路径无关,则1 .
4. 设是以为周期的函数,它在区间上的表达式为,
则的傅里叶系数中.
二、选择(每小题3分,共15分)
(0,0)处(C ).
(A) 连续,偏导存在; (B) 连续,偏导不存在;
(C) 不连续,偏导存在; (D) 不连续,偏导不存在.
2. 函数在点M(1,2,-2)处正确的是( B ).
3. 设是以原点为中心1为边长的正方形,是的内切圆,是的外接圆,记则的大小顺序为(B ).

4. 级数在满足条件( B )时,一定是收敛.
; 收敛; 收敛; 收敛.
三、计算下列各题(每小题6分,共12分)
1. 设具有二阶连续导数,求.
解

2. 在曲面上求一点,使这点的法线垂直于平面,并写出这条法线
的方程.
解设所求点为,则过曲面上点的法线的方向向量为
.由已知,得.
过曲面上点的法线方程为

四、(6分)求由旋转抛物面,平面所围成的立体对z
轴的转动惯量(设体密度ρ=1).
解设是由旋转抛物面,平面所围成的区域.

五、计算下列积分(每小题6分,共24分)
1. .
解

2. .
解

3. 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.
,有
,
当时,记其中包含在L内,并取其顺时针方向.

4. 其中是球面的外侧.
解

六、(7分) 讨论级数是绝对收敛、条件收敛还是发散?
解当时,由于,所以级数绝对收敛.
当时,级数发散.
当时,级数条件收敛.
当时,由于,所以级数发散.
七、(7分) 将函数展开成的幂级数,并求其收敛区间.
解

收敛区间为:.
八、(6分)求微分方程的通解.
解,令,则原方程化为
,
,通解为: