文档介绍：该【2018年高中数学-解三角形】是由【小熙】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2018年高中数学-解三角形】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。2018年高中数学-解三角形

:A+B+C=π;
:
1)大角对大边,大边对大角
2)两边之和大于第三边,两边只差小于第三边
解三角形问题可能出现一解、两解或无解的状况,这时应联合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解
:
正弦定理:
a
b
c
2R(此中R是三角形外接圆的半径)
sinA
sinB
sinC
变形:①角化边
a2RsinA
b2RsinB
c2RsinC
②边化角
sinA
a
b
c
2R
sinB
sinC
2R
2R
a:b:csinA:sinB:sinC
①已知两角和一边;解三角形
②已知两边和此中一边的对角.
如:△ABC中,①②

acosAbcosB,则△ABC是等腰三角形或直角三角形bcosAacosB,则△ABC是等腰三角形。
:a2
b2
c2
2bccosA
cosA
b2
c2
a2
2bc
2
a
2
c
2
2accosB
cosB
a2
c2
b2
b
2ac
c
2
a
2
b
2
2abcosC
cosC
a2
b2
c2
2ab
注意整体代入,如:
a2
c2
b2
ac
cosB
1
2
(1)若C=90
,则cosC
,这时c2
a2
b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推行,勾股定理是余弦定理的特例.
2)余弦定理及其推论的基本作用为:①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边;
②

1absinC
1bcsinA
1acsinB
2
2
2

1(ab
c)r,此中r是三角形内切圆半径.
2
注:由面积公式求角时注意解的个数
1
有关的结论:

在△ABC中,A+B+C=π,因此sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。
sinA
B
cosC,cosA
B
sinC;
2
2
2
2
.
①若
2
2
c
2
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
,
,
,
ab
②若
③若
时角C是锐角
时角C是直角
时角C是钝角
(3)在△ABC中,∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必需条件是∠
B=60°;
(4)三角学中的射影定理:在△
ABC
中,b
acosC
ccosA,
(5).两内角与其正弦值:在△
ABC
中,A
B
sinA
sinB,

:①由已知条件作出图形,②在图上标出已知量和要求的量;
③将实质问题转变为数学识题;④答
;俯角;仰角;张角;张角等
如:方向角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。
北
俯角
方向角

张角
仰角
三、思想总结
:
(1)已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b;
2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,而后利用A+B+C=π,求另一角;
(3)已知两边和此中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦
定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种状况;
(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C。
2S
,特别地,r直
a
bc斜
;
:r
2
ab
c
:在△ABC
中,bacosC
c
cosA,
2
:在△ABC中,ABsinAsinB,
、两解或无解的状况,这时应联合“三角形中大边对大角定理及几何
作图来帮助理解”。
解三角形基础训练1
△ABC中,a=1,b=
3
,A=30°,则B等于(
)
°

°或120°
°或150°
°
△ABC中,A=60°,C=45°,b=2,
则此三角形的最小边长为()

3
-2
C.
3
-1
(
2-1)

C中,A:B:C
1:2:3,则a:b:c等于(
)
:2:3
:2:1
:
3:2
:3:1

C中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是(
)
°
°
°
°

C中,A
30,a
3,则
C的外接圆半径为()
3

A.
2
C中,a2
b2
c2

bc,则A等于(
)

△ABC中,若sinA=cosB,则B的值为(
)
a
b
°

°

°

°
8.
ABC
中,若
3a
2bsinA,则B
为(
)
A.
B.
C.
3
或2
D.
6
或5
3
6
3
6
9.
ABC的三边知足(a
b
c)(a
b
c)
3ab,则
C等于(
)

C.
45

10.
ABC中,“sinA
sinB”是“A=B”的(
)条件

11.
ABC中,sin2
A
sin2B
sinBsinC
sin2C,则A等于(
)

B.
60
C.
120
D.
150
12.
ABC中,B
30
,b
50
3,
c150,则这个三角形是(
)

B.
Rt三角形

13.
在ABC中,
a
b
c
k
,则k=(
)
sinB
sinA
sinC

D.
1
R
2
、在△
ABC
中,若∠
0,AB
23,AC=2,则△ABC的面积为________。
14
B=30
3
解三角形基础训练2
∶7∶8,则最大角与最小角的和为().
°°°°
△ABC中,以下等式正确的选项是().
.a∶b=∠A∶∠∶b=sinB∶sinA

∶b=sinA∶sinB
=bsinB
∶2∶3,则它们所对的边长之比为().
∶2∶3
∶3∶2
∶4∶9
∶2∶3
△ABC中,若sinA
sinB,则A与B的大小关系为(
).

B
B.
A
B
≥B

ABC中,a
2,b
3,C
60,则SABC(
).

3B.
3

2
2
△ABC中,若a2+b2-c2<0,则△ABC是(
).

△ABC中,若b=
3,c=3,∠B=30°,则a=(
).

△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC的面积为

,向左转150°,而后朝此方向走了3km,结果他离出发点恰巧3km,
那么x的值是().

,在其东南方A处看塔顶时仰角为45°,在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB
=120米,则电视塔的高度为().

4
解三角形基础训练3

ABC中,必定建立的等式是(
)
A.
asinA
bsinB
B.
acosA
bcosB
C.
asinB
bsinA
D.
acosB
bcosA
△ABC中,以下式子不正确的选项是

b2
c2
2bccosA
:b:c
sinA:sinB:sinC

1AB
BCsinA
2

2RsinB

ABC中,若cosA
b,则ABC是(
)
cosB
a

△
中,=4,=4
3
,∠
=30°,则∠
B
等于(
)
ABC
a
b
A
°
°或150°
°
°或120°
△ABC中,a
3
2
,b
23,cosC
1,则S△ABC
_______
3
.在△
ABC
中,
A
15
0
,则
3sinAcosB
C
的值为
6

ABC中,sinA
2cosBsinC,则三角形为
。

4
1
(b2
c2
a2),则A=
。
3
△ABC中,∠A=60°,a=3,则
a
b
c
=
.
sinB
sinA
sinC
△ABC中,若a
2+b2<c2,且sinC=
3,则∠C=
.
2
△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则最大角的余弦值=
.
12、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是
a
、b、,若三角形的面积S
1
(a2
b2
c2),
c
4
则∠C的度数是__________。
13、已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2
c2
b2
ac.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若c
3a,求tanA的值.
5
解三角形基础训练4
1.
在
ABC中,A
45
,
B
60
,
a
10,则b
(
)

2
B.
102
C.
10
6
D.
56
3
2.
在
ABC中,
a
1,b
2,A
30,则B
(
)
A
45
B
45或135
C
135
D
无解
3.
在
ABC中,若a2
b2
c2
3bc,则
A为(
)
A
75
B
120
C
150
D
30

ABC中,a
6,B
30
,C
120,则
ABC的面积是(
)

ABC中,若b
2asinB,则角A等于(
).
,或60
B
.45,或60
,或60
,或150
△ABC中,若sinA
2cosBcosC,则tanB
tanC
_________。
△ABC中,若a
9,b
10,c
12,则△ABC的形状是_________。
8.
在
C中,已知B
45
,C
60
,c
1,则最长边的长度为
.
9.
在
C中,若a
b,则
sinA
sinB(填不等号)

30°方向,以后船沿南偏东
60°的方向航行30nmile后看见灯塔在正西
方向,则这时船与灯塔的距离是
.

θ,由此点向塔沿直线行走
30米,测得塔顶的仰角为2θ,
再向塔行进103
米,又测得塔顶的仰角为
4θ,则塔高是
米.
△ABC中,已知tanA=
1
,tanB=
1
,且最长边为1,求:
2
3
角C的大小;
△ABC最短边的长.
6
课后练****br/>,若cosA
b,则ABC是(
).
cosB
a

已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,
则a∶b∶c等于(
).
∶1∶4
∶1∶2
∶1∶3
∶2∶3
3.
在△ABC中,若
sinA
sinB,则A与B的大小关系为(
).
A.
A
B
B.
A
B
C.
A≥B
D.
A、B的大小关系不可以确立
4.
已知
ABC中,sinA:sinB:sinC1:2:3,则a:b:c=
.
5.
已知三角形的三边长分别为
3、5、7,则最大角为(
).
A.
60
B.
75

6.
已知锐角三角形的边长分别为
2、3、x,则x的取值范围是(
).

13
<x<5
<x<5
<x<5
7.
已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是(
).
°
°
°°
8.
在△ABC中,sinA:sinB:sinC=4:5:6,则cosB=
.
9.
已知△ABC中,bcosC
ccosB,试判断△ABC的形状
.
10.
台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向挪动,离台风中心
30千米内的地域为危险区,城
市B在A的正东40
千米处,B城市处于危险区内的时间为(
).

ABC中,已知a
4
,b
6,C
120,则sinA的值是
.

15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔
B在北偏东60
,行驶4h后,船抵达C
处,看到这个灯塔在北偏东
15,这时船与灯塔的距离为
km.

A处测得灯塔C与A相距103海里,且在北偏东30
方向;测得灯塔
B与A相距15
6海
里,且在北偏西
,测得灯塔
B在南偏西60

C与
相距多少海里?

C中,已知
C2,C
3,cos
4
.
5
求sin
的值;
求sin2
的值.
6
7
(2016年山东)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,已知2(tanAtanB)
tanA
tanB.
15.
cosB
cosA
(Ⅰ)证明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
16.(2016年四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是
cosA
cosB
sinC
a,b,c,且
b
.
(I)证明:sinAsinB
sinC;
a
c
(II)若b2
c2
a2
6bc,求tanB.
5
17.(2016年全国I)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)c.
I)求C;
II)若c7,△ABC的面积为33,求△ABC的周长.
2
8
(2016年山东)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA
tanB)
tanA
tanB.
15.
cosB
cosA
(Ⅰ)证明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
tanA
tanB
【分析】(Ⅰ)由2(tanA+tanB)=
+
cosA
得
cosB
sinC
sinA
sinB
,
2
cosAcosB
cosAcosB
cosAcosB
因此2sinC
sinB
sinC,由正弦定理,得
a+b=2c.
(Ⅱ)由cosC
a2
b2
c2
(ab)2
2abc2
3c2
1
3c2
1
3
1
2ab
2ab
2ab
ab2
1
.
2
2
2(
2
)
因此cosC的最小值为
1
.
2
16.
年四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是
a,b,c,且cosA
cosBsinC.
(2016
(I)证明:sinAsinB
sinC;
a
b
c
(II)若b2
c2
a2
6
bc,求tanB.
5
【分析】(I)证明:由正弦定理
a
b
c
sinA
可知
sinBsinC
原式能够化解为
cosA
cosB
sinC
sinA
sinB
1
sinC
∵A和B为三角形内角
,∴sinAsinB
0
则,两边同时乘以
sinAsinB,可得sinBcosA
sinAcosB
sinAsinB
由和角公式可知,
sinBcosA
sinAcosB
sin
A
B
sin
C
sinC
原式得证。
(II)由题
b
2
2
a
2
6
b2
c2
a2
3
c
bc,依据余弦定理可知,
cosA
2bc
5
5
∵A为为三角形内角,
A
0,,sinA
0
2
则sinA
1
3
4,即cosA
3
5
5
sinA
4
由(I)可知
cosA
cosB
sinC
1,∴
cosB
1
1
sinA
sinB
sinC
sinB
tanB
4
∴tanB
4
9
.(2016年全国I)△
ABC
的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)c.
17
I)求C;
II)若c7,△ABC的面积为33,求△ABC的周长.
2
【分析】(1)由正弦定理得:
2cosCsinAcosB
sinBcosA
sinC
2cosC
sinA
B
sinC
∵
A
B
C
π
、C
0,π
,A、B
∴sin
A
B
sinC
0
∴2cosC
1,cosC
1
2
∵C
0,π
∴C
π
3
⑵由余弦定理得:
c2
a2
b2
2ab
cosC
即7a2
b2
2ab1
2
∴a
b
2
3ab7
∵S
1
absinC
3
3
3
2
ab
2
4
∴ab6
2
187
ab5
∴ab
∴△ABC周长为abc57
10