文档介绍：该【概率论与数理统计复习要点知识点doc 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【21】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【概率论与数理统计复习要点知识点doc 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第一章随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
、随机事件
①样本点:随机试验的每一个可能结果,用表示;
②样本空间:样本点的全集,用表示;
注:样本空间不唯一.
③随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示;
④必然事件就等于样本空间;不可能事件是不包含任何样本点的空集;
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
①包含关系:,事件A发生必有事件B发生;
②等价关系:,事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A发生;
③互不相容(互斥):,事件A与事件B一定不会同时发生。
④互逆关系(对立):,事件发生事件A必不发生,反之也成立;
互逆满足
注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。)
①事件的并:,事件A与事件B至少有一个发生。若,则;
②事件的交:,事件A与事件B都发生;
③事件的差:,事件A发生且事件B不发生。
①交换律:
②结合律:
③分配律:
④德摩根(DeMorgan)定律:
对于n个事件,有
二、随机事件的概率定义和性质
:设试验的样本空间为,对于任一随机事件
都有确定的实值P(A),满足下列性质:
(1)非负性:
(2)规范性:
(3)有限可加性(概率加法公式):
对于k个互不相容事件,有.
则称P(A)为随机事件A的概率.
①
②
③若,则
④
注:
若则。(×)
若,则。(×)
三、古典概型的概率计算
古典概型:若随机试验满足两个条件:
只有有限个样本点,
②每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,。
典型例题:设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则
(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A1)的概率为
(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A2)的概率为
四、条件概率及其三大公式
:
:
:
若,则。
:若事件如全概率公式所述,且.
五、事件的独立
:.
推广:若相互独立,
,只要有一对独立,则其余三对也独立。
,B,C两两独立:
注:n个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立两两独立,反之不成立。)
:
练习:
判断正误
。(X)
。(X)
3.。(X)
,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)
,则n个事件相互独立。(X)
,有P(B-A)=P(B)-P(A)。(∨)
二、选择题
,B为两事件,则P(A-B)等于(C)
(A)-P(B)(A)-P(B)+P(AB)
(A)-P(AB)(A)+P(B)-P(AB)
“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为(D)
A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B.“甲乙两种产品均畅销”
C.“甲种产品滞销”
D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)
(A∪B)=P(A)(AB)=P(A)
(B|A)=P(B)(B-A)=P(B)-P(A)
,则等于(B)
.
.
三、解答题
1.
解:(1)因为A,B不相容,有
所以
(2)因为A,B独立,所以
,
.
解:由概率乘法公式得
,15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
求先抽到的一份是女生表的概率p。
解:设表示“第i次取出的报名表是女生表”,i=1,2
表示“报名表是取自第j区的考生”,j=1,2,3.
根据题意得
第二章随机变量及其分布
一、随机变量的定义
设样本空间为,变量为定义在上的单值实值函数,则称为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
:设随机变量,对于任意实数,函数称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数。
注:当时,
(1)X是离散随机变量,并有概率函数则有
(2)X连续随机变量,并有概率密度f(x),则
.
:
(1)F(x)是单调非减函数,即对于任意x1<x2,有;
(2);且;
(3)离散随机变量X,F(x)是右连续函数,即;
连续随机变量X,F(x)在(-∞,+∞)上处处连续。
注:一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
,或可列无穷多个数值
且,则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布,或概率函数(分布律).
注:概率函数pi的性质:
:
(1)超几何分布,X~H(N,M,n),
(2)二项分布,X~B(n.,p),
当n=1时称X服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。
若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立,则服从二项分布。
(3)泊松(Poisson)分布,,
四、连续随机变量及其分布
,且存在非负函数f(x),使得对于任意区间,有则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。
注1:连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即
注2:
(x)的性质:
性质1:
性质2:
注1:一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。
注2:当时,
且在f(x)的连续点x处,有
:
(1)均匀分布,
(2)指数分布,
(3)正态分布,
第三章随机变量的数字特征
一、期望(或均值)
:
:
(1)利用数学期望的定义;
(2)利用数学期望的性质;
常见的基本方法:
将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
(3)利用常见分布的期望;
二、方差
注:D(X)=E[X-E(X)]2≥0;它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小),表示X取值越分散(集中)。
(4)对于任意实数C∈R,有E(X-C)2≥D(X)
当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).
(5)(切比雪夫不等式):设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数有
或
(1)利用方差定义;
(2)常用计算公式
(3)方差的性质;
(4)常见分布的方差.
注:常见分布的期望与方差
~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;
~U(a,b),则
三、原点矩与中心矩
(总体)X的k阶原点矩:
(总体)X的k阶中心矩:
练习
一、判断正误:
,都能计算期望和方差。(X)
,方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)
,随机变量取值越分散,方差越大越集中。(X)
。(√)
,Y,都有成立。(X)
二、选择题
(B)
,;,;,;,
,方差等于4,则E[D(X)],D[E(X)]的值分别为(D)
,X;,4;,2;,0.
,Y的方差分别为4和2,则随机变量X-2Y的方差等于:(C)
;;;.
,有(D)
;
;
5.,则对于任意给定的有(D)
三、填空题
。
四、计算题
试求.
解:
故
,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟,从底层起行。一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上服从均匀分布,求该游客等候时间Y的数学期望.
解:因故其概率密度为
由题意得
所以
第四章正态分布
一、正态分布的定义