圆锥曲线与方程知识点+经典大题 (2).doc

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考纲导读
、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程.
、标准方程、简单的几何性质.
、标准方程、简单的几何性质.
.
知识网络
圆锥曲线
椭圆定义
标准方程
几何性质
双曲线定义
标准方程
几何性质
抛物线定义
标准方程
几何性质
第二定义
第二定义
统一定义
直线与圆锥曲线的位置关系
椭圆
双曲线
抛物线
a、b、c三者
间的关系
高考导航
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可与代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是两个客观题,一个主观题,分值21分~24分,占15%左右,并且主要体现出以下几个特点:
,主要考查以下内容:
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解.
②圆锥曲线的几何性质的应用.
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:直译法、定义法、相关点法、参数法.
,是高考的重热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现.
,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.
第1课时椭圆
基础过关

(1)平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的,之间的距离叫做焦距.
注:①当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是.②当2a<|F1F2|时,P点的轨迹不存在.
(2)椭圆的第二定义:到的距离与到的距离之比是常数,,定直线l是,常数e是.

(1)焦点在轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:,(>>0,且
(2)焦点在轴上,中心在原点的椭圆标准方程是,其中a,b满足:.
(对,a>b>0进行讨论)
(1)范围:≤x≤,≤y≤
(2)对称性:对称轴方程为;对称中心为.
(3)顶点坐标:,焦点坐标:,长半轴长:,短半轴长:;准线方程:.
(4)离心率:(与的比),,越接近1,椭圆越;越接近0,椭圆越接近于.
(5)焦半径公式:设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,则,=.
(6)椭圆的参数方程为.
:
(1)定义:r1+r2=2a
(2)余弦定理:+-2r1r2cos=(2c)2
(3)面积:=r1r2sin=·2c|y0|(其中P()为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=)
典型例题
:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点;
(3)长轴长是短轴长的3倍,并且椭圆经过点A(-3,)
变式训练1:根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)和椭圆共准线,且离心率为.
(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点
.
(3,4)是椭圆=1(a>b>0)上的一点,F1、F2是它的两焦点,若PF1⊥PF2求:
(1)椭圆的方程;(2)△PF1F2的面积.
解:(1)法一:令F1(-C,0),F2(C,0)
∵PF1⊥PF2,∴=-1即,解得c=5
∴椭圆的方程为
∵点P(3,4)在椭圆上,∴
解得a2=45或a2=5又a>c,∴a2=5舍去.
故所求椭圆的方程为.
法二:利用△PF1F2是直角三角形,求得c=5(以下同方法一)
(2)由焦半径公式:
|PF1|=a+ex=3+×3=4
|PF2|=a-ex=3-×3=2
∴=|PF1|·|PF2|=×4×2=20
变式训练2:已知P(x0,y0)是椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.
∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r
∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)连结OA,由三角形中位线定理,知
|OA|=
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.
评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。
,椭圆的中心在原点,其左焦点与抛物线的焦点重合,过的直线与椭圆交于A、B两点,与抛物线交于C、,.
(1)求椭圆的方程;
(2)求过点O、,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
(3)求的最大值和最小值.
解:(1)由抛物线方程,得焦点.
设椭圆的方程:.
解方程组得C(-1,2),D(1,-2).
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,
∴,,∴.…………2分
∴又,
因此,,解得并推得.
故椭圆的方程为.…………4分
(2),
圆过点O、,
圆心M在直线上.
设则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切,
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
(3)由
①若垂直于轴,则,
,
…………………………………………9分
②若与轴不垂直,设直线的斜率为,则直线的方程为
由得
,方程有两个不等的实数根.
设,.
,………………………………11分
=
,所以当直线垂于轴时,取得最大值
当直线与轴重合时,取得最小值
变式训练3:在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:△ABC的周长为2+.
(1)求W的方程;
(2)经过点(0,)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,
求k的取值范围;
(3)已知点M(,0),N(0,1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)设C(x,y),
∵,,
∴,
∴由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴.∴.
∴W:.…
(2)设直线l的方程为,代入椭圆方程,得.
整理,得.①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
,解得或.
∴满足条件的k的取值范围为
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x1+x2,y1+y2),
由①得.②
又③
因为,,所以.………
所以与共线等价于.
将②③代入上式,解得.
所以不存在常数k,使得向量与共线.
,焦点在轴上,离心率为,,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关于轴的对称点为.
(1)求椭圆W的方程;
(2)求证:();
(3)求面积的最大值.
解:(1)设椭圆W的方程为,由题意可知
解得,,,
所以椭圆W的方程为.……………………………………………4分
(2)解法1:因为左准线方程为,.
得.
由直线与椭圆W交于、两点,可知
,解得.
设点,的坐标分别为,,
则,,,.
因为,,
所以,.
又因为
,
所以.……………………………………………………………10分
解法2:因为左准线方程为,所以点坐标为.
于是可设直线的方程为,点,的坐标分别为,,
则点的坐标为,,.
由椭圆的第二定义可得
,
所以,,三点共线,即.…………………………………10分
(3)由题意知
,
当且仅当时“=”成立,
所以面积的最大值为.
变式训练4:设、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(2)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)易知
设P(x,y),则
,
,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4
(2)假设存在满足条件的直线l易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时,设交点C,CD的中点为R,
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|
综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|
小结归纳
,灵活处理焦半径,熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义,能够减少运算量,提高解题速度,达到事半功倍之效.
,:定型——确定曲线形状;定位——确定焦点位置;定量——由条件求a、b、c,当焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,要防止遗漏.
、焦点弦有关的问题时,一般要从椭圆的定义入手考虑;椭圆的焦半径的取值范围是.
4.“设而不求”,“点差法”等方法,是简化解题过程的常用技巧,要认真领会.
,是近年来高考的热点,应引起重视.
第2课时双曲线
基础过关

(1)平面内与两定点F1,F2的常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
注:①当2a=|F1F2|时,p点的轨迹是.
②2a>|F1F2|时,p点轨迹不存在.
(2)平面内动点P到一个定点F和一条定直线l(F不在上)的距离的比是常数e,当时动点P的轨迹是双曲线.
设P到的对应准线的距离为,到对应的准线的距离为,则

(1)标准方程:,焦点在轴上;,:a0,b0,.
(2)双曲线的标准方程的统一形式:
(对进行讨论)
(1)范围:,.
(2)对称性:对称轴方程为;对称中心为.
(3)顶点坐标为,焦点坐标为,实轴长为,虚轴长为
,准线方程为,渐近线方程为.
(4)离心率=,且,越大,双曲线开口越,越小,双曲线开口越,焦准距P=.
(5)焦半径公式,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若是双曲线右支上任意一点,,,若是双曲线左支上任意一点,,.
(6)具有相同渐近线的双曲线系方程为
(7)的双曲线叫等轴双曲线,等轴双曲线的渐近线为,离心率为.
(8)的共轭双曲线方程为.
典型例题
,写出双曲线的标准方程
(1)中心在原点,一个顶点是(0,6),.
(2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2).
解:(1)∵顶点为(0,6),设所求双曲线方程为∴
又∵∴
故所求的双曲线方程为
(2)令与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线为x2-2y2=k
∵双曲线过M(2,-2)
∴4-2×4=k得k=-4
∴x2-2y2=-4即
变式训练1:根据下列条件,求双曲线方程。
(1)与双曲线有共同渐近线,且过点(-3,);
(2)与双曲线有公共焦点,且过点(,2)
解:法一:(1)双曲线的渐近线为
令x=-3,y=±4,因,故点(-3,)在射线(x≤0)及x轴负半轴之间,
∴双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为,(a>0,b>0)
解之得:
∴双曲线方程为
(2)设双曲线方程为(a>0,b>0)
则
解之得:
∴双曲线方程为
法二:(1)设双曲线方程为(λ≠0)
∴
∴
∴双曲线方程为
设双曲线方程为
∴
解之得:k=4
∴双曲线方程为
评注:与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0),当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为(a2+k>0,b2-k>0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量,特别是充分利用含参数方程的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,,求出此双曲线的方程(精确到1m).
解:如图8—17,建立直角坐标系xOy,使A圆的直径AA′在x轴上,、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且=13×2(m),=25×2(m).设双曲线的方程为(a>0,b>0)令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).因为点B、C在双曲线上,所以
解方程组由方程(2)得(负值舍去).代入方程(1)得化简得19b2+275b-18150=0(3)
解方程(3)得b≈25(m).所以所求双曲线方程为:
变式训练2:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.
(1)爆炸点应在什么样的曲线上?
(2)已知A、B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线的方程.
解(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.
(2)如图8—14,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y),则
即2a=680,a=∴2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.
∵∴x>:(x>0).
,固定底边BC,让顶点A移动,已知,且,求顶点A的轨迹方程.
解:取BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,因为,所以B(),.利用正弦定理,从条件得,,点A的轨迹是B、C为焦点,焦距为4,实轴长为2,虚轴长为的双曲线右支,点(1,0)除外,即轨迹方程为().
变式训练3:已知双曲线的一条渐近线方程为,两条准线的距离为
l.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值.
(1)解:依题意有:
可得双曲线方程为
(2)解:设
所以
:的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且,求点T的坐标;
(2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程;
(3)过点F(1,0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B,设,若(T为(Ⅰ)中的点)的取值范围。
解:(1)由题,得,设
则
由…………①
又在双曲线上,则…………②
联立①、②,解得
由题意,
∴点T的坐标为(2,0)…………3分
(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y)
由A1、P、M三点共线,得
…………③…………1分
由A2、Q、M三点共线,得
…………④…………1分
联立③、④,解得…………1分
∵在双曲线上,
∴
∴轨迹E的方程为…………1分
(3)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为中,得
设
则由根与系数的关系,得……⑤
……⑥…………2分
∵∴有
将⑤式平方除以⑥式,得
…………1分
由
…………1分
∵
又
故
令∴,即
∴
而,∴
∴
变式训练4:)已知中心在原点,左、右顶点A1、A2在x轴上,离心率为的双曲线C经过点P(6,6),动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N,Q为线段MN的中点
(1)求双曲线C的标准方程
(2)当直线l的斜率为何值时,。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。
解(1)设双曲线C的方程为
①
②②
又P(6,6)在双曲线C上,
由①、②解得
所以双曲线C的方程为。