相交线与平行线最全知识点.doc

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章节
内容
课时
第五章
相交线与平行线
14

相交线
3

平行线及其判定
3

平行线的性质
4

平移
2
单元小结
2
二、本章有四个数学基本事实
;
;
,如果同位角相等,那么两直线平行;
,同位角相等.

三、本章共有19个概念



四、转化的数学思想
遇到新问题时,常常把它转化为已知(或已解决)
五、平移



(2009年安徽中考)学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm,,其一个内角为60°.
60°
……
d
L
第19题图
(1)若d=26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;
【解】
(2)当d=20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?
【解】
相交线与平行线知识点

1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角.
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.
2、垂线
A
B
C
D
O
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
符号语言记作:
如图所示:AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,:垂线段最短.
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线.
注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;
②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上.
画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,
⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,
⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线.
4、点到直线的距离
P
A
B
O
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆.
如图,PO⊥AB,.
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,:具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:两点间的距离是点与点之间,:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同.

1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作∥.
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行

如左图所示,∵∥,∥
∴∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行.
5、三线八角
1
2
3
4
5
6
7
8
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
如图,直线被直线所截
①∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角.
④“F”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型.
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全.
6
B
A
D
2
3
4
5
7
8
9
F
E
C
例如:
1
如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8.
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图.
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角.
A
B
C
1
7
A
B
F
2
1
A
B
C
D
2
6
A
D
B
F
1
B
A
F
E
5
8
C
注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成.
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
简称:同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,,然后写平行.
注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”.
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.
如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行.
典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线.
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交.
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏. ⑵正确
⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的.
A
B
E
D
F
C
1
2
3
典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?
解答:
⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;
⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;
⑶由∠ACF+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行.

1、平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
A
E
G
B
C
F
H
D

注意:直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.
3、命题:
⑴命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题.
⑵命题的组成
每个命题都是题设、;“如果……,那么……”,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论.
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式.
注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补.
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质.
A
D
E
B
C
1
2
典型例题:已知∠1=∠B,求证:∠2=∠C
证明:∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行
同位角相等)
注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了.
A
D
F
B
E
C
1
2
3
典型例题:如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
求∠2、∠3的度数
解答:∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF(已知)
∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°

1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化.
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.
典型例题:如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么:
⑴点A的对应点是点_________;⑵点B的对应点是点______.
A
D
B
E
C
F
⑶点_____的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_______;
⑸线段BC的对应线段是线段_______;⑹∠A的对应角是______.
⑺____的对应角是∠F.
解答:
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB.
思维方式:利用平移特征:平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答.
考点一:对相关概念的理解
对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区别等
例1:判断下列说法的正误。
对顶角相等;
相等的角是对顶角;
邻补角互补;
互补的角是邻补角;
同位角相等;
内错角相等;
同旁内角互补;
直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
两直线不相交就平行;
互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练****下列说法正确的是()
A、相等的角是对顶角B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交,有一对对顶角互补,则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二:相关推理(识记)
(1)∵a∥c,b∥c(已知)  ∴______∥______()
(2)∵∠1=∠2,∠2=∠3(已知)  ∴______=______()
(3)∵∠1+∠2=180°,∠2=30°(已知) ∴∠1=______()
(4)∵∠1+∠2=90°,∠2=22°(已知)  ∴∠1=______()
(5)如图(1),∵∠AOC=55°(已知)  ∴∠BOD=______()
(6)如图(1),∵∠AOC=55°(已知)  ∴∠BOC=______()
(7)如图(1),∵∠AOC=∠AOD,∠AOC+∠AOD=180°(已知)  
a
b
1
1
2
3
4
a
b
.
.
.
A
C
B
∴∠BOC=______()
(1)(2)(3)(4)
(8)如图(2),∵a⊥b(已知)  ∴∠1=______()
(9)如图(2),∵∠1=______(已知)  ∴a⊥b()
(10)如图(3),∵点C为线段AB的中点  ∴AC=______()
(11)如图(3),∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点()
(12)如图(4),∵a∥b(已知)  ∴∠1=∠2()
(13)如图(4),∵a∥b(已知)  ∴∠1=∠3()
(14)如图(4),∵a∥b(已知)  ∴∠1+∠4=()
(15)如图(4),∵∠1=∠2(已知)  ∴a∥b()
(16)如图(4),∵∠1=∠3(已知)  ∴a∥b()
(17)如图(4),∵∠1+∠4=(已知)  ∴a∥b()
考点三:对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1:如图5-1,直线AB、CD相交于点O,对顶角有_________对,它们分别是_________,∠AOD的邻补角是_________。
例题2:如图5-2,直线l1,l2和l3相交构成8个角,已知∠1=∠5,那么,∠5是_________的对顶角,与∠5相等的角有∠1、_________,与∠5互补的角有_________。
例题3:如图5-3,直线AB、CD相交于点O,射线OE为∠BOD的平分线,∠BOE=30°,则∠AOE为_________。
图5-1图5-2图5-3
考点四:同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1:如图2-44,∠1和∠4是AB、被所截得的角,∠3和∠5是、被所截得的角,∠2和∠5是、被所截得的角,AC、BC被AB所截得的同旁内角是.
例题2:如图2-45,AB、DC被BD所截得的内错角是,AB、CD被AC所截是的内错角是,AD、BC被BD所截得的内错角是,AD、BC被AC所截得的内错角是。
例题3:如图1-∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.
考点五:平行线的判定、性质的综合应用(逻辑推理训练)
例题1:如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:
∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1()
∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C()
∴DB∥EC()
∴∠AMB=∠2()
A
1
B
C
D
E
F
G
H
例题2:如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠AEF+∠CFE=180°,∠1=∠2,则图中的∠H与∠G相等吗?说明你的理由.
考点六:特殊平行线相关结论
例题1:已知,如图:AB//CD,试探究下列各图形中.
A
B
C
D
P
(1)
A
B
C
D
P
(2)
A
B
C
D
P
(3)
A
B
C
P
(4)