函数的对称性周期性问题.doc

文档介绍：函数的对称性、奇偶性及周期性问题
基本知识:
一、抽象函数的对称性
性质1、若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三式成立且等价:
(1)f(a+x)=f(a-x)。
(2)f(2a-x)=f(x)。
(3)f(2a+x)=f(-x)。
若写成:,函数关于直线对称
性质2、若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三式成立且等价:
(1)f(a+x)+f(a-x) =0。
(2)f(2a-x) +f(x) =0。
(3)f(2a+x)+f(-x) =0。
若写成:,函数关于点对称
注:y=f(x)为偶函数是性质1当a=0时的特例,f(-x)=f(x)。
y=f(x)为奇函数是性质2当a=0时的特例,f(-x)=-f(x)。
二、复合函数的奇偶性。
性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。
复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。
性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。
性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。
三、函数的周期性。
性质1、若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点,有下
列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x+a)=f(x-a),
②f(x+a)=-f(x),
③f(x+a)=1/f(x),
④f(x+a)=-1/f(x)。
四、函数的对称性与周期性。
性质1、若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为
周期函数,且T=2|a-b|。
即:若函数在R上满足,且(其中),则函数以2|a-b|为周期.()
性质2、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数
f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|。
即:若函数在R上满足,且(其中),则函数以2|a-b|为周期.
性质3、若函数y=f(x)既关于点(b,0)中心对称,又关于直线x=a轴对称,
则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|。
即:若函数在R上满足,且(其中),则函数以4|a-b|为周期.
性质4、如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。
性质5、如果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。
典型例题:
,,且,则的值( ).
.
,,则( )
,在区间上是减函数
,在区间上是减函数
,在区间上是增函数
,在区间上是减函数
,且当时,.求的值.