全向轮运动平台分析.doc

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全轮转向式小车
一、坐标系与位置表示
图1地理坐标系与体坐标系
定义如图所示的坐标系,地理坐标系{XI,YI},体坐标系{XR,YR},坐标之间夹角为θ,P点位置描述为
εI=xyθ
由地理坐标转为体坐标的映射由正交旋转矩阵完成
εR=RθεI=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xyθ
反方向变换矩阵如下
Rθ-1=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001
二、运动学模型与控制律

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图2轨迹跟踪示意图
坐标系参照图2,对于地理坐标中的位置指令pI=(xryrθr)和速度指令qI=(vrωr)将对应的误差在体坐标系中表示出来
pR=xeyeθe=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xr-xyr-yθr-θ
对上式求导的到[1]:
xe=xr-xcosθ-xr-xsinθθ+yr-ysinθ+(yr-y)cosθθ=yeω-xcosθ+ysinθ+vrcosθrcosθ+vrsinθrsinθ=yeω-vx+vrcosθr-θ=yeω-vx+vrcosθe
ye=-xr-xsinθ-xr-xcosθθ+yr-ycosθ-(yr-y)sinθθ=-xeω+xsinθ-ycosθ-vrcosθrsinθ+vrsinθrcosθ=-xeω-vy+vrsinθe
将上式合并写出得到位置误差微分方程
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pR=xeyeθe=yeω-vx+vrcosθe-xeω-vy+vrsinθeωr-ω
。1全向轮直角坐标下控制律设计
设李雅普诺夫函数为
V1=12xe2+ye2+θe2
求其导数如下,当渐进稳定时导数小于0;
V1=xexe+yeye+θeθe
xe=-kxxe,ye=-kyye,θe=-kθθe
上式系数为正时,李雅普诺夫函数的导数小于零,系统渐进稳定
代入微分方程得到控制律如下:
vx=yeω+vrcosθe+kxxe
vy=-xeω+vrsinθe+kyye
ω=ωr+kθθe

差动轮与全向轮的区别是,全向轮小车速度方向与四个轮子的共同朝向相同可为任意方向,而差动轮小车的切向速度方向与X轴重合,故方程中vy=0,微分方程如下:
pR=xeyeθe=yeω-v+vrcosθe-xeω+vrsinθeωr-ω
。1差动轮直角坐标下控制律设计
选择Lyapunov函数如下:
V2=12xe2+ye2+1k(1-cosθe)
对上式沿求导:
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V2=xexe+yeye+1kθesinθe=xeyeω-v+vrcosθe+ye-xeω+vrsinθe+1kωr-ωsinθe=-xev+xevrcosθe+yevrsinθe+1kωrsinθe-1kωsinθe=-xev+xevrcosθe+yevrsinθe+1kωrsinθe-1kωsinθe
选择如下速度控制输入:
v=vrcosθe+kxxe
ω=ωr+vr(kye+kθsinθe)
将上式代入Lyapunov函数导数得到:
V2=-kxxe2-kθkvrsin2θe
当上式系数为正时,V2≤0,故以上Lyapunov函数选择正确.
由此得到基于运动学模型的轨迹跟踪速度控制律为[2]:
vω=vrcosθe+kxxeωr+vr(kye+kθsinθe)
其中,k,kx,kθ为控制器参数.

将控制律代入微分方程得下式:
pR=xeyeθe=ye(ωr+vr(kye+kθsinθe))-kxxe-xe(ωr+vr(kye+kθsinθe))+vrsinθe-vr(kye+kθsinθe)
上式在零点附近线性化,忽略高次项得
pR=ApR
A=-kxωr0-ωr0vr0-vrky-vrkθ
系数值与角速度和速度指令值共同决定系统根,当系数为正是所有根为负数。

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仿真系统结果图如下:
图3轨迹跟踪结构图
图中q=(vω)T,v、ω分别为移动机器人的线速度和角速度,εI=(xyθ)T,对于差动机器人运动学方程可表示为:
εI=xyθ=cosθ0sinθ001vω=Jqc
图中J=cosθ0sinθ001;pR=xeyeθe;qc=q;
对于全向轮机器人运动学方程可表示为:
xyθ=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001vxvyω=Rθ-1vxvyω
对角速度为0。2和线速度为5的圆形轨迹进行跟踪,仿真结果如下图:
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图4圆形轨迹跟踪仿真图
图中×点线为差动轮跟踪轨迹,О点线为全向轮跟踪轨迹。
三、全向轮平台的设计
对全向轮采用如下图所示的结构时,进行系统分析与设计
图5互补型全向轮(omniwheels)
3。1运动学模型
图6全向轮式移动机器人运动学模型
移动坐标Xe-Ye固定在机器人重心上,而质心正好位于几何中心上。机器人P点在全局坐标系的位置坐标为:(x,y,θ),三个全向轮以3号轮中心转动轴反方向
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所为机器人的X轴。假设三个全向轮完全相同,三个全向轮中心到车体中心位置的距离L。在移动坐标Xe-Ye的速度用vxevye表示。
由文献[3]可得三个全向轮的速度与其在移动坐标和全局坐标系下的速度分量之间的关系分别为以下二式:
V1V2V3=sin⁡(60)cos(60)L-sin⁡(60)cos(60)L0-1Lvxevyeω=3212L-3212L0-1Lvxevyeω=Ta3╳3vxevyeω
V1V2V3=sin⁡(60-θ)cos(60-θ)L-sin⁡(60+θ)cos(60+θ)Lsinθ-cosθLxyθ

在移动坐标Xe-Ye中,设机器人在沿轴Xe和Ye方向上收到的力分别为FXe和FYe第1、2、3号驱动轮提供给机器人的驱动力分别为f1、f2、f3,机器人惯性转矩为M,根据牛顿第二定律可得到如下的动力学方程:
mxemyeIθ=FXeFYeM=cos30-cos300sin30sin30-1LLLf1f2f3=32-3201212-1LLLf1f2f3=Tb3╳3f1f2f3
在地理坐标系X—Y下的方程如下:
mxmyIθ=FXFYM=cos⁡(30+θ)-cos⁡(30-θ)sinθsin⁡(30+θ)sin⁡(30-θ)-cosθLLLf1f2f3
3。3基于动力学模型的控制器设计
如上式所示,基于机器人动力学模型的控制方案,直接根据机器人的动力学模型设计运动控制器,控制器的输出为机器人上驱动电机的驱动电压。基于动力学模型的控制方案,不需对驱动电机进行底层的速度控制,消除了底层速度控制带来的延时。
由动力学方程:
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mxemyeIθ=FXFYM=32-3201212-1LLLf1f2f3
可知在体坐标系中各个方向上的控制输入输出是独立的并且相互之间无耦合;于是可在体坐标中对各个控制量分别进行控制。
当以各个电机电压作为控制量U时,对控制量U进行矩阵变换Tb3╳3U后可得到各个方向控制量Fu=Tb3╳3U。先对系统参数mI进行辨识,得到由控制量Fu到速度V的传递函数;然后设计Fu的控制器,进过变换Ta3╳3Fu后得到各个电机的控制量U=Ta3╳3Fu。速度控制指令vxevyeω由第2节控制律求得.
3。4基于编码器的位姿推算
圆弧模型在文献[4]中介绍机器人里程计圆弧模型是把移动机器人在运动过程中的实际轨迹通过圆弧去逼近。
图7平台样品示意图[5]
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图8采样期间的圆弧运动轨迹
图中Axn,yn,θn和Bxn+1,yn+1,θn+1分别为在采样时间间隔内起始点与终点的位姿坐标,AB为采样期间的圆弧轨迹,利用图中几何关系可以得到运动轨迹为圆弧时的推算公式如下:
xn+1=xn+L∆SR+∆SL2∆SR-∆SLsinθn+∆SR-∆SLL-sinθnyn+1=yn-L∆SR+∆SL2∆SR-∆SLcosθn+∆SR-∆SLL-cosθnθn+1=θn+∆SR-∆SLL
当∆SR-∆SL较小时可采用直线模型
xn+1=xn+∆SR+∆SL2cosθn+∆SR-∆SLLyn+1=yn+∆SR+∆SL2sinθn+∆SR-∆SLLθn+1=θn+∆SR-∆SLL
随着移动距离的增加,误差逐渐加大,;非系统误差是在移动过程中随机发生的误差,主要包括:测位轮子的打滑、路况等.
由于非系统误差不容易消除,因此,这里将通过实验的方法来校准机构的安装精度,减小因系统误差对定位精度产生较大影响。
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影响测量误差的主要参数是编码器输出一个脉冲对应轮子运动的距离r和两个定位轮之间的距离L,r和L精度校正的具体方法和实现步骤如下:
编码器一个脉冲代表定位轮运行的距离r校正方法:使两个定位轮在室内平面上沿着一条5米长度的直线运行,编写软件程序,对与定位轮同轴相连的两个自由编码器的输出脉冲进行计数,将该数值记录左右自由编码器输出脉冲个数NL和NR,根据公式
r=5000(NL+NR)/2mm
求出每次测量计算得到r的值,再取平均值即可。经过多次测试实验结果列表。
定位轮之间的距离L校正方法:在平地上,使测位装置从某一起始位置出发,顺时针或逆时针旋转n周后再回到该出发位置,记下在该过程与左右定位轮相连的编码器输出的脉冲数分别为NL,NR,根据公式
L=NL-NR*r2πn
求出每次测量计算得到L的值,.
四、Mecanum轮平台的设计
Mecanum轮采用滚轮与轴线成45。夹角的结构,如下图所示:
图9麦克纳姆轮(Mecanumwheels)
假设图中小辊子可沿径向自由滚动,而沿轴向与地面无滑动。
4。1运动学模型