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请观察下面各数列:
1,2,3,4,5,6;
10,8,6,4,2,•••
3,0,-3,-6,-9,•••
2,2,2,2,2,•••
从第2项起,每项与前一项的差都等于1。
从第2项起,每项与前一项的差都等于-2。
从第2项起,每项与前一项的差都等于0。
从第2项起,每项与前一项的差都等于-3。
这四个数列有什么共同的特点?
这些数列具有这样的共同特点:
从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。
等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫等差数列的公差,用字母d表示。
练****br/>判定:下列数列是否是等差数列?
√
×
√
√
×
9,7,5,3,•••,-2n+11;
-1,11,23,35,•••,12n-13;
1,2,1,2,•••;
1,2,4,6,8,10•••;
a,a,a,a,•••,a,•••;
4、an-an-1=d(d是常数,n≥2,n∈N*);
等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫等差数列的公差,用字母d表示。
注:
1、从第二项开始;
2、等差数列至少含有三项;
3、每一项与它的前一项的差;(方向性)
5、同一个常数;
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
则a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
…
由此得到an=a1+(n-1)d
an-1-an-2=d,
an-an-1=d.
这(n-1)个式子迭加
an-a1=(n-1)d
当n=1时,上式两边均等于a1,即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立,因而它就是等差数列{an}的通项公式。
等差数列的通项公式
已知等差数列的首项a1和公差d:
通项公式的运用
an=a1+(n-1)d(n∈N*)
已知等差数列8,5,2,…求an及a20(第20项)。
解:a1=8,d=5-8=-3
∴a20=-49
∴an=8+(n-1)·(-3)=-3n+11
练****已知等差数列3,7,11,…
则an=_______________a4=_________
a10=__________
an=a1+(n-1)d(n∈N*)
4n-1
15
39
试一试:
1、已知等差数列中,a20=-49,d=-3求a1.
解:由a20=a1+(20-1)·(-3)
得a1=8
an=a1+(n-1)d(n∈N*)
做一做:
2、已知等差数列8,5,2…问-49是第几项?
解:a1=8,d=-3则
an=8+(n-1)·(-3)
-49=8+(n-1)·(-3)
得n=20。
总结:在an=a1+(n-1)d(n∈N*)中,
有an,a1,n,d四个量,
已知其中任意3个量即可求出第四个量。
思考:如果已知一个等差数列的任意两项,
能否求出an呢?
an=a1+(n-1)d(n∈N*)