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函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个
元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B
的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多
对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
1、下列各对函数中,相同的是
()
A、f(x)lgx2,g(x)2lgxB、
x1
f(x)lg,g(x)lg(x1)lg(x1)
x1
1u1v
C、f(u),g(v)D、f(x)=x,f(x)x2
1u1v
2、M{x|0x2},N{y|0y3}给出下列四个图形,其中能表示从集合M
到集合N的函数关系的有
()
A、0个B、1个C、2个D、3个
yyyy
3
2222
1111
O12xO12xO12xO12x
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
6.(05江苏卷)函数ylog(4x23x)的定义域为

:.
2求函数定义域的两个难点问题
(1)已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
(2)已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f()x的定义域
2xx2
例2设f(x)lg,则f()f()的定义域为__________
2x2x
变式练习:f(2x)4x2,求f(x)的定义域。
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且x
∈R的分式;
④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1
1.(直接法)y
x22x3
(x)2242xx2
3.(换元法)yx2x1
3x
4.(Δ法)y
x24:.
x21

x21
x
6.(分离常数法)①y②
x1
3x1
y(2x4)
2x1
3
7.(单调性)yx(x[1,3])
2x
1
8.①y,②yx1x1(结合分子/分母有理化的数学
x1x1
方法)
9.(图象法)y32xx2(1x2)
8
10.(对号函数)y2x(x4)
x
11.(几何意义)yx2x1

:设y=f(x),x∈A,如果对于任意x∈A,都有f(x)f(x),则称y=f(x)为偶函
数。
如果对于任意x∈A,都有f(x)f(x),则称y=f(x)为奇:.
函数。
:
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于
原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D,D,D∩D要关
1212
于原点对称]

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系
1已知函数f(x)是定义在(,)(,0)时,
f(x)xx4,则当x(0,)时,f(x).
2xb
2已知定义域为R的函数f(x)是奇函数。
2x1a
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的取值范
围;
xy
3已知f(x)在(-1,1)上有定义,且满足x,y(1,1)有f(x)f(y)f(),
1xy
证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;
:.
4若奇函数f(x)(xR)满足f(2)1,f(x2)f(x)f(2),则
f(5)_______
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:

2设yfgx是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则yfgx在M

上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则yfgx在M上是增函数。
1判断函数f(x)x3(xR)的单调性。
2例函数f(x)对任意的m,nR,都有f(mn)f(m)f(n)1,并且当x0
时,f(x)1,
⑴求证:f(x)在R上是增函数;
⑵若f(3)4,解不等式f(a2a5)2
3函数ylog(6x2x2)的单调增区间是________

:.
(3a1)x4a,x1
4(高考真题)已知f(x)是(,)上的减函数,那么a的取
logx,x1
a
值范围是()
1111
(A)(0,1)(B)(0,)(C)[,)(D)[,1)
3737
:
1.(定义)若f(xT)f(x)(T0)f(x)是周期函数,T是它的一个周期。
说明:nT也是f(x)的周期
(推广)若f(xa)f(xb),则f(x)是周期函数,ba是它的一个周期
对照记忆
f(xa)f(xa)说明:
f(ax)f(ax)说明:
11
(xa)f(x);f(xa);f(xa);则f(x)周期是2a
f(x)f(x)
1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为
(A)-1(B)0(C)1(D)2
2定义在R上的偶函数f(x),满足f(2x)f(2x),在区间[-2,0]上单调递减,
设af(),bf(2),cf(5),则a,b,c的大小顺序为_____________
1f(x)
3已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x2),若f(1)23,则
1f(x)
f(2005)=.
4已知f(x)是(-,)上的奇函数,f(2x)f(x),当0x1时,f(x)=x,
则f()=________
例11设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2x)f(x),:.
当x[0,2]时f(x)2xx2
⑴求证:f(x)是周期函数;
⑵当x[2,4]时,求f(x)的解析式;
⑶计算:
七、反函数
;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域;
2、求反函数的步骤(1)解(2)换(3)写定义域。
3、关于反函数的性质
(1)y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;
(2)y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性;
(3)已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f-1(a);
(4)f-1[f(x)]=x;
(5)若点(a,b)在y=f(x)的图象上,则(b,a)在y=f--1(x)的图象上;
(6)y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;
1
1设函数yf(x)的反函数为yf1(x),且yf(2x1)的图像过点(,1),则
2
yf1(x)的图像必过
11
(A)(,1)(B)(1,)(C)(1,0)(D)(0,1)
22
(涉及二次函数问题必画图分析)
(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴b,顶点坐标
x
2a
b4acb2
(,)
2a4a:.

一元二次方程ax2bxc0(a0)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)y0的
x的取值。
一元二次不等式ax2bxc0(0)的解集(a>0)
二次函数△情况一元二次不等式解集
ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0
Y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4ac
(a>0)(a>0)

△>0xxx或xxxxxx
1212
图

象△=0xxx
0
与
解
△<0R
1、已知函数f(x)4x2mx5在区间[2,)上是增函数,则f(1)的范围是
()
(A)f(1)25(B)f(1)25(C)f(1)25(D)f(1)25
2、方程mx22mx10有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是
_______

(1)零指数幂a01(a0)
1
(2)负整数指数幂ana0,nN
an:.
m
nm
(3)正分数指数幂anaa0,m,nN,n1;
m11
(5)负分数指数幂ana0,m,nN,n1
mnam
an
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

rsrsrsrs
1aaaa0,r,sQ2aaa0,r,sQ
3abrarbra0b,0r,Q

aa0
根式的性质:当n是奇数,则nana;当n是偶数,则nana
aa0

(1)对数的概念:如果abN(a0,a1),那么b叫做以a为底N的对数,记
blogN(a0,a1)
a
(2)对数的性质:①零与负数没有对数②log10③loga1
aa
(3)对数的运算性质
logMN=logM+logN
logN
对数换底公式:logNm(N0,a0且a1,m0且m1)
aloga
m
n
对数的降幂公式:logNnlogN(N0,a0且a1)
amma
11(4ab1)3

(1)()2(2)
41
()2(a3b3)2
lg8lg125lg2lg5
lg10

1、指数函数y=ax与对数函数y=logx(a>0,a≠1)互为反函数
a
名称指数函数对数函数
一般形
Y=ax(a>0且a≠1)y=logx(a>0,a≠1)
式a
定义域(-∞,+∞)(0,+∞)
值域(0,+∞)(-∞,+∞):.
过定点(0,1)(1,0)
指数函数y=ax与对数函数y=logx(a>0,a≠1)图象关于y=x对称
a
图象
a>1,在(-∞,+∞)上为增函数a>1,在(0,+∞)上为增函数
单调性
0<a<1,在(-∞,+∞)上为减函数0<a<1,在(0,+∞)上为减函数
值分布y>1?y<1?y>0?y<0?
,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数
相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图
象关系(对数式比较大小同理)
记住下列特殊值为底数的函数图象:
3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制
4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复
合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
1、(1)ylgxlg(53x)的定义域为_______;
1
(2)y2x3的值域为_________;
(3)ylg(x2x)的递增区间为___________,值域为___________
1
2、(1)log2x0,则x________
14
2
xxa
3、要使函数y124a在x,1上y0恒成立。求的取值范围。
11
+·ax-≤0(a>0且a≠1),求y=2a2x-3·ax+4的值域.
22
:.
(1)1、平移变换:(左+右-,上+下-)即
yf(x)h0,右移;h0,左移yf(xh)
yf(x)k0,下移;k0,上移yf(x)k
①对称变换:(对称谁,谁不变,对称原点都要变)
yf(x)x轴yf(x)
yf(x)y轴yf(x)
yf(x)原点yf(x)
yf(x)yxyf1(x)
yf(x)y轴右边不变,左边为右边部分的对称图yf(x)
yf(x)保留x轴上方图,将x轴下方图上翻yf(x)
(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点()
A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)
:
(1)y=|logx|;(2)y=|2x-1|;
2
(3)y=2|x|;

:
f(x)f(x)
120单调递增
xx
12
f(x)f(x)
120单调递减
xx
12:.
:
f(x)f(x)0奇函数
f(x)f(x)0偶函数
:
xxf(x)f(x)
f(12)12凹函数(图象“下凹”,如:指数函数)
22
xxf(x)f(x)
f(12)12凸函数(图象“上凸”,如:对数函数)
22