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函数复习主要知识点
一、函数的见解与表示
1、照射
(1)照射:设A、B是两个会集,若是依据某种照射法规f,关于会集A中的任一个元素,在会集
B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括会集A、B以及A到B的对应法规f)叫做会集A
到会集B的照射,记作f:A→B。
注意点:(1)对照射定义的理解。(2)判断一个对应是照射的方法。一对多不是照射,多对一是照射
2、函数
组成函数见解的三要素
①定义域②对应法规③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
例1、以下各对函数中,相同的是(
)
A、f(x)
lgx2
,g(x)
2lgx
B、f(x)
lgx
1,g(x)
lg(x
1)lg(x
1)
x
1
C、f(u)
1
u,g(v)
1
v
D、f(x)=x,f(x)
x2
1
u
1
v
例2、M
{x|0
x
2},N{y|0
y3}给出以下四个图形,其中能表示从会集
M到会集N的函
数关系的有(
)
A、0个B
、1个C
、2个D
、3个
y
y
y
y
3
2
2
2
2
1
1
1
1
O
1
2x
O
O
1
2x
O
12
x
12x
二、函数的剖析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
1)分式的分母不为零;
2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
3)对数函数的真数必定大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必定大于零且不等于1;
例.(05江苏卷)(4x23x)的定义域为________________________
求函数定义域的两个难点问题例3:
1)已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
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(2)已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域。
例4:设f(x)lg2
x,则f(x)
f(2)的定义域为__________
2
x
2
x
变式练习:f(2x)4x2,求f(x)的定义域。
三、函数的值域
求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转变为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③鉴识式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且x∈R的分式;
④分别常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转变距离等求值域。主若是含绝对值函数
例:
1.(直接法)y
2
1
(x)2242xx2
x
2x
3
3.(换元法)yx2x1
4.
(
法)y
3x
2
4
x
x2
1
6.(分别常数法)①y
x
2
1
②
x
x
1
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y
3x
1(
2x
4)
2x
1
7.(单调性)y
x
3
(x[1,3])
2x
8.①y
1
,②yx1
x1(结合分子/分母有理化的数学方法)
x
1
x
1
9.(图象法)y32xx2(1x2)10.(对号函数)y2x8(x4)
x
11.(几何意义)yx2x1
:设y=f(x),x∈A,若是关于任意
x∈A,都有f(
x)
f(x),则称y=f(x)为偶函数。
若是关于任意
x∈A,都有f(
x)
f(x),则称y=f(x)为奇函数。
:
①y=f(x)是偶函数
y=f(x)的图象关于
y轴对称,
y=f(x)是奇函数
y=f(x)的图象关于原点对称
,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则
f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶
奇×奇=偶
偶×偶=偶
奇×偶=奇[两函数的定义域D1
2
12
要关于原点对称]
,D,D∩D
①看定义域可否关于原点对称
②看f(x)与f(-x)的关系
例:
1已知函数f(x)是定义在(
,
)(
,
0)时,f(x)
x
x4,则当x(0,
)
时,f(x)
.
2已知定义域为
R
的函数f(x)
2x
b是奇函数。
2x
1
a
(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的
t
R,不等式f(t2
2t)
f(2t2
k)0恒成立,求k的取值范
围;
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已知f(x)
证明:f(x)
在(-1,1)上有定义,且知足
x,y(1,1)有f(x)f(y)f(x
y),
1
xy
在(-1,1)上为奇函数;
4若奇函数f(x)(xR)知足f(2)1,f(x2)f(x)f(2),则f(5)_______
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:
2设yfgx是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则yfgx在M上是减函数;
若f(x)与g(x)的单调性相同,则yfgx在M上是增函数。
例:
1判断函数f(x)x3(xR)的单调性。
2函数f(x)
对任意的m,nR,都有
f(mn)f(m)f(n)1,并且当
x
0时,f(x)
1,
⑴求证:
f(x)在R上是增函数;
⑵若f(3)4,解不等式f(a2
a
5)2
(6x2x2)的单调增区间是________
(3a1)x
4a,x1
,)上的减函数,那么
a的取值范围是
4(高考真题)已知f(x)
x,x1
是(
(
)
loga
(A)(0,1)
(B)(0,1)
(C)[1
,1)
(D)[1
,1)
3
7
3
7
:
1.(定义)若f(xT)f(x)(T0)f(x)是周期函数,T是它的一个周期。
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说明:nT也是f(x)的周期。(实行)若f(x
a)
f(x
b),则f(x)是周期函数,b
a是它的一个
周期
比较记忆:
f(x
a)
f(x
a)说明:
f(a
x)
f(a
x)说明:
(xa)
f(x);f(xa)
1
a)
1
;f(x
;则f(x)周期是2a
f(x)
f(x)
例:
1
已知定义在R上的奇函数f(x)知足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为(
)
(A)-1
(B)0
(C)
1
(D)2
2
定义在R
上的偶函数f(x),知足f(2
x)
f(2
x),在区间[-2,0]上单调递减,设
a
f(
),b
f(
2),c
f(5),则a,b,c的大小序次为_____________
3
已知f(x)是定义在实数集上的函数,
且f(x
2)
1
f(x),若f(1)
23,则f(2005)=
.
1
f(x)
4
已知f(x)是(-
,
)上的奇函数,
f(2
x)
f(x),当0x
1时,f(x)=x,则f()=________
5设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒知足f(2x)f(x),当x[0,2]时
f(x)2xx2
⑴求证:f(x)是周期函数;⑵当x[2,4]时,求f(x)的剖析式;⑶计算:
七、反函数
;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域;
2、求反函数的步骤(1)解(2)换(3)写定义域。
3、关于反函数的性质
1)y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;
2)y=f(x)和y=f-1(x)拥有相同的单调性;
3)已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f-1(a);
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(4
)f-1[f(x)]=x;
(5
)若点(a,b)在y=f(x)的图象上,则
(b,a)在y=f--1(x)的图象上;
(6)y=f(x)的图象与其反函数
y=f--1(x)的图象的交点必然在直线
y=x上;
例:设函数y
f(x)的反函数为y
f1(x),且y
f(2x1)的图像过点(1
,1),则y
f1(x)的图像
2
必过
(A)(1
,1)
(B)(1,1)
(C)(1,0)
(D)(0,1)
2
2
(涉及二次函数问题必画图剖析)
(x)=ax
2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴x
b,极点坐标(
b
,4acb2
)
2a
2a
4a
一元二次方程ax2
bx
c
0(a
0)
的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)y0
的x的取值。
一元二次不等式ax
2
bx
c
0(
0)
的解集(a>0)
二次函数
△情况
一元二次不等式解集
Y=ax2+bx+c(a>0)
△=b2-4ac
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
(a>0)
(a>0)
△>0xxx1或xx2xx1xx2
图
象
△=0
xxx0
与
解
△<0R
例:
1、已知函数f(x)
4x2
mx
5在区间[2,
)上是增函数,则
f(1)的范围是(
)
(A)f(1)
25
(B)
f(1)25
(C)f(1)25
(D)f(1)25
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2、方程mx22mx10有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是_______
(1)
零指数幂a0
1
(a
0)
(2)负整数指数幂an1
a0,nN
an
m
(3)
正分数指数幂an
nam
a0,m,n
N,n
1;
m
1
1
(4)
负分数指数幂a
0,m,n
N,n1
n
m
a
an
nam
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
1aras
arsa0,r,sQ
2ar
s
arsa0,r,sQ
r
arbra0,b0,rQ
3ab
根式的性质:当n是奇数,则nan
a;当n是偶数,则n
an
a
a
a
0
a
a
0
(1)
对数的见解:若是ab
N(a
0,a
1),那么
b叫做以a
为底N
的对数,记
bloga
N(a
0,a1)
(2)对数的性质:①零与负数没有对数
②loga1
0
③logaa
1
(3)对数的运算性质
logMN=logM+logN
logmN
(N
0,a
0且a
1,m
0且m
1)
对数换底公式:logaN
logma
对数的降幂公式:logamNn
nlogaN(N
0,a
0且a
1)
m
例:
(1)4
1
(
4ab
1)3
lg8lg125
lg2lg5
2
1
(2)
()
2(a
3b3)2
lg10
1、
指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数
名称
指数函数
对数函数
一般形式
Y=ax
(a>0且a≠1)
a
y=logx(a>0,a≠1)
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定义域
(-∞,+
∞)
(0,+∞)
值域
(0,+
∞)
(-∞,+∞)
过定点
(0,1)
(1,0)
指数函数y=ax与对数函数
y=logax(a>0,a≠1)图象关于y=x对称
图象
a>1,在(-∞,+∞)上为增函数
a>1,在(0,+
∞)上为增函数
单调性
在(-∞,+∞)上为减函数
0<a<1,在(0,+
∞)上为减函数
0<a<1,
值散布
y>1?y<1?
y>0?
y<0?
比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,第一要分清底数相同仍是指数相同,若是底
数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小
同理)
记住以下特别值为底数的函数图象:
3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制
4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要路子。
例:
1
1、(1)y
lgx
lg(53x)的定义域为_______;(2)y
2x3的值域为_________;
(3)y
lg(x2
x)的递加区间为
___________,值域为___________
2、(1)
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log21x10,则x________
4
3、要使函数y12x4xa在x,1上y0恒成立。求a的取值范围。
a2x+1·ax-1≤0(a>0且a≠1),求y=2a2x-3·ax+4的值域.
22
(1)
1、平移变换:
(左+右-
,上+下-)即
y
f
(x)
h
0
,右移
;h
0,左移
y
f
(x)
k
0
,下移
;k
0,上移
yf(xh)
yf(x)k
①对称变换:(对称谁,谁不变,对称原点都要变)
y
f
(
x)
y
f
(
x)
y
f
(
x)
y
f
(
x)
y
f
(
x)
y
f
(
x)
x轴
y
f
(
x)
y轴
y
f(
x)
原点
y
f
(
x)
yx
y
f
1
(
x)
y轴右边不变,左边为右
边部分的对称图
y
f(x)
保留
x轴上方图,将
x
轴下方图上翻
f
(x)
y
例:
(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点()
A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)
:
(1)y=|log2x
|;
(2)y=|2x-1|;
(3)y=2|x|;
:
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f(x1)
f(x2)
单调递加
x1
0
x2
f(x1)
f(x2)
单调递减
x1
0
x2
:
f(x)f(x)0奇函数
f(x)f(x)0偶函数
:
f(x1
x2)
f(x1)
f(x2)
凹函数(图象“下凹”,如:指数函数)
2
2
f(x1
x2)
f(x1)
f(x2)
凸函数(图象“上凸”,如:对数函数)
2
2
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