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伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家,其中有八位数学家(其中三位是杰出的,他们是雅可布、约翰、丹尼尔),他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。
雅可布发明了极坐标,他和他的弟弟约翰是莱布尼茨的朋友,经常书信往来讨论数学问题。他们对于莱布尼茨发明的微积分方法极为推崇,迅速地接受了莱布尼茨的学说,并且加以发扬光大。
雅可布曾当过洛必达的私人教师,最先提出洛必达法则,是欧拉的老师。雅可布和约翰两兄弟有时致力于研究同一个问题,但是由于彼此嫉妒和易于激动,这一情况是很遗憾的。有时两人之间的摩擦爆发成为公开的嫉恨诟骂。由于解决“最速降线”问题,兄弟两个因为解法的优劣而争论不休,两人之间的口角纷争达数年之久,其所用言辞之粗野很像市井上的对骂而非科学讨论。这两人之中约翰的脾气似乎更坏,因为多年之后,由于他的二儿子丹尼尔获得了他白己渴望获得的法兰西科学院奖金,约翰竟把他摔出窗外。
n次重复独立试验:
相同的条件下重复地做某试验n次;可重复性每次试验结果不受其它各次试验影响;独立性
如:掷骰子
n重贝努里试验:每次试验结果只有两种可能的n重独立试验
共进行n次试验;
各次试验相互独立;
在每次试验中某事件A或者发生或者不发生;
在每次试验中事件A出现的概率都是p(0p1)。
n重贝努里试验中事件A恰好发生k(0kn)次的概率为
kknkPn(k)Cnp(1p)
证明:设Ai=(第i次贝努里试验中出现A},B=(n重贝努里试验中A出现k次}分步:
A在指定的前k次试验中出现,后n-k次中不出现
pP(A1...Akk1...n)P(A1)...P(Ak)P(k1)...P(n)pkqnk
k(2)事件A可能出现在n次试验中的任何k次,共Cn中情况。
kknk所以Pn(k)Cnpq
例1(1)将一个对称的硬币掷2次,求出现:恰好一次正面的概率;将一个对称的硬币掷10次,求出现:恰好4次正面的概率。
解:(1)pP2(1)C2()()
(2)pP10(4)C10()()C102446410111
例2袋中装有100个小球,60个红的,40个绿的,作放回抽样,连续取5次,每次取1个,求:
(1)恰好取到3个红球,2个绿球的概率;(2)取到红球的个数不大于3个的概率。
,现检查了10件,求至少有两件一级品的概率。
作业****题一(A)24(B)13-15
第一章小结
1阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关
系及运算。
2给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性
质。
3给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率
公式和贝叶斯公式。
4给出了随机事件独立性的概念,会利用事件
独立性进行概率计算。
6引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念,要会
计算与之相关事件的概率。
例1、P(A)P(B),P(AB),求P(A|B),P(|B),P(A|),P(AB).