圆与方程知识点整理.doc

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关于圆与方程的知识点整理
一、标准方程
222xaybr,,,,,,,,
——关键是求出圆心和半径rab,,,
P?待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材例2119
?利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交:(无需记,关键能理解)条件方程形式
222圆心在原点xyrr,,,0,,
222222xaybabab,,,,,,,0过原点,,,,,,
222xayrr,,,,0圆心在轴上x,,,,
222yxybrr,,,,0圆心在轴上,,,,
222xayaa,,,,0圆心在轴上且过原点x,,,,
222yxybbb,,,,0圆心在轴上且过原点,,,,
222xaybbb,,,,,0与轴相切x,,,,,,
222yxaybaa,,,,,0与轴相切,,,,,,
222xaybaab,,,,,,0与两坐标轴都相切,,,,,,二、一般方程
2222xyDxEyFDEF,,,,,,,,040,,
22AxByCxyDxEyF,,,,,,,
,ABAB,,,,00,,,,CC,,,00,,
22,,22DEAF,,,40,DEF,,,,,,,,,40,,,,,AAA,,,,,
:如教材例4r122
,,,40
三、点与圆的位置关系
:点到圆心的距离与半径的大小关系rd
点在圆内;点在圆上;点在圆外dr,,dr,,dr,,:
BP(1)圆外一点,圆上一动点,讨论的最值PB
PBBNBCr,,,min
PBBMBCr,,,max
AP(2)圆内一点,圆上一动点,讨论的最值PA
PAANrAC,,,min
PAAMrAC,,,max
A思考:过此点作最短的弦,(此弦垂直)AC四、直线与圆的位置关系
(为圆心到直线的距离)d
(1)相离没有公共点,,,,,,0dr(2)相切,只有一个公共点,,,,,0dr(3)相交,有两个公共点,,,,,0dr这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.

(1)知识要点
?基本图形
?主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等问题:直线与圆相切意味着什么,lC
r圆心到直线的距离恰好等于半径Cl
(2)常见题型——求过定点的切线方程
?切线条数
点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无
?求切线方程的方法及注意点(((
i)点在圆外
222222xaybr,,,,xaybr,,,,如定点,圆:,[]Pxy,,,,,,,,,,,0000
第一步:设切线方程yykxx,,,l,,00
第二步:通过,从而得到切线方程dr,,k
特别注意:以上解题步骤仅对存在有效,当不存在时,应补上——千万不要漏了~kk
22xyxy,,,,,46120如:过点作圆的切线,,1,,
答案:和3410xy,,,x,1
ii)点在圆上
2222xyr,,1)若点在圆上,则切线方程为xy,xxyyr,,,,0000
会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.
222xaybr,,,,2)若点在圆上,则切线方程为xy,,,,,,,00
2xaxaybybr,,,,,,,,,,,,,,00
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.
由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断
点与圆的位置关系,得出切线的条数.
22222?求切线长:利用基本图形,APCPrAPCPr,,,,,
,,ACr求切点坐标:利用两个关系列出两个方程,1kk,,,ACAP,

(1)求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用((((
222,,弦长公式:(暂作了解,无需掌握)lkxxkxxxx,,,,,,,114,,,,121212,,
(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
222xyr,,,,35例:若圆上有且仅有两个点到直线4320xy,,,的距离为1,则,,,,
:4,6,,
会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)五、对称问题
222xymxmym,,,,,,,关于直线,,,,10m,,
22答案:3(注意:时,,故舍去)DEF,,,40m,,1
22AAxyaxy,,,,,450变式:已知点是圆:上任意一点,点关于直线xy,,,210C
的对称点在圆上,,C
22xy,,,,,,0,,,,
2222CCxy,,,,421xy,,,,241变式:已知圆:与圆:关于直线对称,l,,,,,,,,21

22xy,,,,,3,,,,,,
22xy,,:与圆:,问:是否存在实数使自发出的光yxb,,A3,3lCb,,
247,,B,线被直线反射后与圆相切于点,若存在,求出的值;若不存在,试说明lCb,,2525,,
理由.
六、最值问题
方法主要有三种:(1)数形结合;(2)代换;(3)参数方程
22xyx,,,,,满足方程,求:x
y(1)的最大值和最小值;——看作斜率x,5
yx,(2)的最小值;——截距(线性规划)
22xy,(3)的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
,,,,点是内切圆上一点,求以,OB,3OA,4AB,5PA,AOB,AOB
,
数形结合和参数方程两种方法均可~
22xy,,,,,,0为圆上的任一点,欲使不等式恒成立,则c的取Pxy,,,,,
c,,:(数形结合和参数方程两种方法均可~)
七、圆的参数方程
xr,cos,,222,为参数,xyrr,,,,0,,,yr,sin,,
xar,,cos,,222,为参数,xaybrr,,,,,,0,,,,,,,ybr,,sin,,
八、相关应用
22xyxy,,,,,(,),始终平分圆的周长,mxny,,,240mnR,
,
22xyxy,,,,,:,问:是否存在斜率为1的直线,使被圆截得CllC
ABAB的弦为,以为直径的圆经过原点,若存在,写出直线的方程,若不存在,说明理l由.
2dkxx,,,1xxyy,,0提示::或xy,,,10xy,,,40121212
22Pxy,,,,341:,点,,设点是圆上的动点,,1B0,1CC,,,,,,,,
22PdPAPB,,,
22xy,,,,1225:,直线:(),,,,,,ClmR,,,,,,,,,(1)证明:不论取什么值,直线与圆均有两个交点;mlC
(2)求其中弦长最短的直线方程.
2xy,,,,,,,k
22Pxyxym,,,,,,两点,为坐标原点,xy,,,230QO
问:是否存在实数,使OPOQ,,若存在,求出的值;若不存在,、圆与圆的位置关系
:几何法(为圆心距)d
drr,,,drr,,,(1)外离(2)外切1212(3)相交(4)内切rrdrr,,,,,drr,,,121212(5)内含drr,,,12

2222CC圆:,圆:,xyDxEyF,,,,,0xyDxEyF,,,,,,,,,,,0,,,,,,121212
补充说明:
CC若与相切,则表示其中一条公切线方程;21
CC若与相离,
3圆系问题
2222CC(1)过两圆:和:交点的xyDxEyF,,,,,0xyDxEyF,,,,,021111222
2222xyDxEyFxyDxEyF,,,,,,,,,,,0圆系方程为(),,,1,,111222
C说明:1)上述圆系不包括;2)当时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦),,,12
22xyDxEyF,,,,,0(2)过直线与圆交点的圆系方程为AxByC,,,0
22xyDxEyFAxByC,,,,,,,,,0,,
(3)有关圆系的简单应用
(4)两圆公切线的条数问题
?相内切时,有一条公切线;?相外切时,有三条公切线;?相交时,有两条公切线;?相
离时,有四条公切线
十、轨迹方程
(1)定义法(圆的定义):略
(2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标
的关系式——轨迹方程.
22xy,,1例:过圆外一点作圆的割线,,0,,
222OPAPOA,,分析:
(3)相关点法(平移转换法):一点随另一点的变动而变动
,,
动点主动点特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.
22xy,,,已知定点,点Q是圆上的动点,,AOQ的平分线交于AQA2,0,,
MM,当Q点在圆上移动时,:角平分线定理和定比分点公式.
22BABxy,,:,点,、是圆上的两个动点,、、呈逆A3,0OCOC,,
,BAC时针方向排列,且,求的重心的轨迹方程.,,,ABCG3
,33BAC法1:,为定长且等于,,?BC3
xxxxx,,,,3,ABCBCx,,,,33设,则Gxy,,,,yyyyy,,,ABCBC,y,,,33,
,,33333,,x,,,y,,,取的中点为,BC,,EE,,,2442,,,,
922222OECEOC,,,(1)?,,xyEE4
32,xxx,33x,,,,EBCx,x,x,EE,,,2xxx,,,,,,322BCE?,,,,,,,2yyy,,23yyy,BCE,BCE,,,y,yy,y,EE,,,3,2,2,
22,,333933x,2,,,,,,2,,,,,,,,,yxyxy110,,,1)得:故由(1,,,,,,,,,,,22422,,,,,,,,法2:(参数法)
2,设,由,则B3cos,3sin,,,,,,BOCBAC2,,3
,,22,,,,,,C3cos,3sin,,,,,,,,,,33,,,,,,
设,则Gxy,,,
,2,,,33cos3cos,,,,,,,,xxx,,23,,,,,ABC,,,,,,,1coscos1x,,,,,,333,,,,2,,,,3sin3sin,,,,,,,yyy,,23,,,,ABC,y,,,,,sinsin2,,,,,,,333,,,
,,2,,43322,,,,2,,112,,xyxy,,,,,,110,,,1,由得:,,,,,,,,,,,,,,,,3322,,,,,,
y参数法的本质是将动点坐标中的x和都用第三个变量(即参数)表示,通过消xy,,,(
y参得到动点轨迹方程,通过参数的范围得出x,的范围.(
(4)求轨迹方程常用到得知识
xxx,,xx,,,ABC12x,x,,,,,32?重心,?中点,Gxy,Pxy,,,,,,,yy,yyy,,12ABC,,y,y,,,,23,
BDAB?内角平分线定理:,CDAC
xx,,yy,,AMABAB?定比分点公式:,则,,,x,y,MM11,MB,,,?韦达定理.