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等差数列
2021/8/9星期一
2
:
1988,1992,1996,2000,2004,2008.
:通话时间不超过3分钟,,,那么通话费从小到大的次序依次为:,+,+×2,+×3,.
观察上面的数列有什么共同的特点?
问题情景(一):
(单位:m):
8000,8500,9000,9500,10000,10500
:
1,8,15,22,29,36,…
从第二项起,后一项与前一项的差是4。
2021/8/9星期一
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一、等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示。
数学语言:an-an-1=d(d是常数,n≥2,n∈N*)
当d>0时,等差数列是一个单调递增数列;
当d<0时,等差数列是一个单调递减数列.
当d=0时,等差数列是一个常数列;
或an+1-an=d
(d是常数)
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例1:,指出首项和公差
(1)1,1,1,1,1,.(2)4,7,10,13,16.
(3)-3,-2,-1,1,2.(4)1,0,1,0,1.
(1)所给数列是首项为1,公差为0的等差数列;
(2)所给数列是首项为4,公差为3的等差数列;
解:
小结:判断一个数列是不是等差数列,主要是由定义进行判断:
an+1-an是不是同一个常数?
2021/8/9星期一
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是
不是
不是
练****一
判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d,如果不是,说明理由。
(1)1,3,5,7,…
(2)9,6,3,0,-3…
(3)-8,-6,-4,-2,0,…
(4)3,3,3,3,…
(6)15,12,10,8,6,…
是
是
是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=-8,d=2
a1=3,d=0
2021/8/9星期一
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例2:求出下列等差数列中的未知项.
(1),5(2)3,b,c,-9
解:
解得a=4
练****P343
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通项公式:
递推公式:
18,19,20,21,22,23,24
2005十二月
十二月
2005
123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
(其中a1=18)
问题情景(二):
2021/8/9星期一
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问题情景(三):
观察数列:1,3,5,7,…
思考:在数列中a100=?我们该如何求解呢?
如何求一般等差数列的通项公式?
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等差数列通项公式的猜测
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有:
a2=a1+d,
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
an=a1+(n-1)d
问an=?
通过观察:a2,a3,a4都可以用a1与d表示出来;a1与d的系数有什么特点?
当n=1时,上式也成立。
猜测:
2021/8/9星期一
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等差数列的通项公式:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式:
证:因为{an}为等差数列,
a2-a1=d,
a3-a2=d,
an-an-1=d,
……
将上面n-1个等式的两边分别相加,
当n=1时,上面的等式显然成立.
叠加法
所以当n≥2时,有
an=a1+(n-1)d.
得an-a1=(n-1)d,
所以,an=a1+(n-1)d,
a1、an、n、d知三求一
an=am+(n-m)d(n,m∈N*)
变形