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知识梳理:
二次函数的基本性质
(1)、二次函数的三种表示法
y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n
(2)、当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0=(p+q)
若-<p,则f(p)=m,f(q)=M;
若p≤-<x0,则f(-)=m,f(q)=M;
若x0≤-<q,则f(p)=M,f(-)=m;
若-≥q,则f(p)=M,f(q)=m
2、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)
3、二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是
(-∞,α)∪[β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时,f(α)<f(β)|α+|<|β+|,
当a<0时,f(α)<f(β)|α+|>|β+|;
(3)当a>0时,二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立
或
(4)f(x)>0恒成立
2、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表二:(两根与的大小比较)
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表三:(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种)
一根在内,另一根在内,
大致图象()
得出的结论
或
大致图象()
得出的结论
或
综合结论(不讨论)
——————
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧
,(图形分别如下)需满足的条件是
(1)时,;(2)时,
经典例题:
题型一:基础题型
例1、若,且,,求的值.
例2、若的图像x=1对称,则c=_______.
例3、已知二次函数,如果(其中),则()
.
例4、函数对任意的x均有,那么、、的大小关系是()
.
.
例5、已知函数,.
(1)求,的单调区间;(2)求,的最小值.
例6、已知函数在区间内单调递减,则a的取值范围是
.
例7、已知函数在上是单调函数,求实数的取值范围.
例8、已知函数在区间[0,m]有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
.
例9、已知函数在区间[0,2]上的最小值为3,求a的值.
例10、若函数是偶函数,则在区间上是
,也可能是常数
例11、若函数是偶函数,则点的坐标是________.
例13、已知函数,若时,有恒成立,求的取值范围。
跟踪练****br/>1、函数f(x)=2x2-mx+3,当xÎ(-¥,-1]时是减函数,当xÎ[-1,+¥)时是增函数,则f(2)=。
2、已知函数.
3、当的取值范围是()
A、B、C、D、
已知的取值范围是.
5、函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则f(1)等于 ()
A.-7
6、已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是()
≤3 ≥-3 ≤5 ≥3
7、已知在区间上是增函数,则的范围是()
.
8、若函数.
9、若不等式的取值范围是
10、已知函数.
题型二:根的分布
例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。
例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。
例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。
例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。
例5、m为何实数时,关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2。
例6、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围
例7、
例8、求函数的最小值。
跟踪练****br/>1、若关于的方程,则实数的取值范围是__
2、设
,则实数的取值范围是.
3、已知方程
的取值范围是()
A、B、C、D、
4、若关于x的方程在有解,则实数m的取值范围是________________.
5、已知二次函数都有
的取值范围.
6、设函数在上是增函数,在上是减函数,当方程有三个实数根时.
(1)求的值;(2)求证:;
7、已知在区间内有一最大值,求的值