文档介绍：第二章
微积分的直接基础——极限
第一节数列极限
主要内容:
数列及数列极限的概念
早在两千多年前,人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想,公元前3世纪,我国的庄子就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”(Descartes)创建解析几何之后,(Newton、英国)和莱布尼茨(Leibniz、德国)集众多数学家之大成,各自独立地发明了微积分,,便在许多学科中得到广泛应用,大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步. 经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程,“极限”是微积分的基础.
阿基里斯追龟
一位古希腊学者芝诺(Zenon,约公元前496 —约前429)曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道,乌龟素以动作迟缓著称,:阿基里斯与龟赛跑,将永远追不上乌龟!
A
B
B
B1
假定阿基里斯现在A处,,阿基里斯先跑到乌龟的出发点B,当他到达B点时,乌龟已前进到B1点;当他到达B1点时,乌龟又已前进到B2点,如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方,,阿基里斯是永远追不上乌龟的!
B1
B2
让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速度是乌龟的十倍,,龟已前进了1米;当阿基里斯再追1米时,,,…..把阿基里斯追赶乌龟的距离列出,便得到一列数: 10,1,,,…,102-n,…这称为数列,an =102-n 为通项,数列常简记为{ an }.所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为
所以,!
然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起,以至于在相当长时间内不得不把“无限”,当反应变量无限变化极限理论建立之后,才可用极限理论回答芝诺的挑战.
一列数: 10,1,,,…,102-n,…称为数列. 102-n为通项.
一尺之棰,日取
其半,万世不竭.
初始长度为:1
一、数列的极限(问题的引入):
在《庄子·天下篇》中有“截丈问题”的精彩论述:
第一天剩的长度为:
截丈问题:
一尺之棰,日取
其半,万世不竭.
第二天剩的长度为:
截丈问题:
一尺之棰,日取
其半,万世不竭.