文档介绍：系统可靠性模型
定义:
系统: 可完成某种特定功能的整体, 是若干协调工作单元的有机组
合.
系统与单元是相对而言的.
例如: 产品等级(八级):
零件--à部件--à组合体--à单机--à机组--à装置--à分系统--à系统
失效(或故障):系统丧失规定功能.
通常用一个非负随即变量X来描述产品的寿命,X的相应分布函数
为产品的寿命分布.
产品可靠性函数(可靠度)为:
.
性质:
(3) R(t) 是t的递减函数.
例如: 产品寿命为威布尔(Weibull)分布的可靠度为:
, 其图像为:
plot({exp(-(*t)^),exp(-(*t)^1),exp(-(*t)^2)},t=0..8,color=[red,black,green]);
几个重要概念:
(1) 产品平均寿命:
.
因为:.
实际上, 还有更广的关系存在:
.
(2) 失效率函数:(failure rate function)
设产品的寿命(非负连续随机变量)分布函数为, 其密度函数为, 则定义
为随机变量(产品)的失效率函数, 简称失效率(故障率).
失效率的解释:
若产品工作到时刻t仍然正常, 则它在中失效的概率为
,
因此, 失效率为
.
浴盆曲线: (Bath tube curve)
时间t
r(t)
失效率与可靠度的关系:
根据失效率的定义, 我们有
系统可靠性模型:
串联系统(series system)
系统由个单元组成, 系统工作的充分必要条件为所有单元均工作. 用可靠性框图表示为:
1
2
n
…….
串联系统可靠性框图
令为第个单元的寿命, 则其可靠度为; 假定相互独立, 且各单元在初始时刻, 所有的部件都是新的,且同时开始工作, 则系统的寿命为
.
系统可靠度为
.
系统的失效率可由下面的关系获得
, 因此, 我们有
, 即串联系统的失效率为各单元失效率之和.
如果各单元的寿命为指数分布, 则系统的失效率为, 由此可得出系统的平均寿命为此处为单元的失效率.
(也可用马尔可夫链的方式来给出指数分布串联系统的MTTF(Mean Time To Failure)).
并联系统(parallel system)
系统由个单元组成, 只有当这个单元全部失效后系统才失效, 即这个单元并联而成. 其可靠性框图为:
1
2
.
.
.
若假定在id (independent distribution)的情况下, 系统的寿命为
, 且在时刻t=0时所有单元是新的, 则系统的可靠度为
(思考题: 若各单元为指数分布, 请给出系统的MTTF)
3. 表决系统: (k-out-of-n:G system:n中取k:G系统)
系统由个单元组成, 只要当这个单元中的单元工作, 系统才工作, 此系统称为中取表决系统, 记为:. 即当失效的单元数大于或等于时,系统才失效.
如果在iid (independent identical distribution) 情况下, 且在初始时刻所有部件均是新的, 则系统可靠度为
一个重要等式:
Proof:
对上式进行积分, 积分上,下限分别为和0得出结论. # 在上面的证明中用到了:
函数和函数及其相互关系:
因而,系统的可靠度也可写为:
.
系统可靠性框图为:
1
2
k/n(G)
.
.
.
如果单元的寿命密度函数为, 则系统的失效率函数为
.
当时,
,
MTTF
但在id 情况下, 问题略微复杂一些, 例如对系统, 我们有,
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表决系统的另外一种形式是系统, 它是由单元组成, 如果在这个单元中有或个以上单元失效, 则系统失效. 因此, 我们可以得出系统等价于系统.
表决系统与串联和并联系统的关系:
或是串联系统; 或系统为并联系统.
多数表决系统: 或系统.
表决系统应用:
(1)工程系统中的数据采集;
(2)数据融合;
(3)社会科学;等等。
4. 串-并联系统: 其可靠性框图为
……
……
系统可靠度为.
5. 并-串联系统: 其可靠性框图为
……
.
.
.
.
系统可靠度为.
6. 冷贮备系统:
. 转换开关