文档介绍：第��卷第�期�甘肃联合大学学报�自然科学版�����.�����.��
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文章编号:����—������������·��������
矩阵与对角形矩阵相似的条件研究�
车明刚�
�吉林师范大学数学学院,吉林四平��������
摘要:对角形矩阵是最简单的一类矩阵,而相似矩阵有相同的特征根,特征多项式,特征向量,最小多项式,初�
,�
相似的条件.�
关键词:矩阵相似;特征向量;特征多项式;最小多项式;不变因子;初等因子�
中图分类号:����.���文献标识码:��
定理��级矩阵�可对角化的充分必要条�
�引言及引理�
件是:维��维��⋯�维�一��其中�,�
文献�����从特征向量、特征值、最小多项式�。,⋯,�是�的所有互不相同的特征根�.�
�证明�必要性�
础上进行推广,从更多侧面研究矩阵可对角化问�若�可对角化,则维���又由�。十����
,提高�⋯���: �,故维���维�,�⋯�维�。��.�
判断矩阵可对角化的操作性.�充分性�
定义设�,�为数域�上两个�级矩阵,如�若维��维�,�⋯�维�,:�,则�有�
果存在数域尸上的�级可逆矩阵�,使得���个线性无关的特征向量,故�可对角化.�
��,则称�相似于�,若�与对角形矩阵相�定理��级矩阵�可对角化的充分必要条�
似,则称�可对角化.�件是:�—���,④⋯���其中�,��,⋯,�
引理������级矩阵�可对角化的充分必要�是�的所有互不相同的特征根�.�
条件是�具有,�个线性无关的特征向量.�证明�必要性�
引理����数域�上的�级矩阵�可对角化�令��,��,⋯,.;��的重数分别为��,��,⋯,�,�
的充分必要条件是对每个特征值均有几何重数等�是属于特征根.:【�的特征子空间,则�����⋯�
于代数重数.�������,维�:����,由子空间���,��,��
引理����数域�上的�级矩阵�可对角化�⋯��。是直和,于是维��维��维�,�⋯�
的充分必要条件是�的最小多项式是�上互素的��维��。一������⋯十���,从而维���:�,�
一次因式的乘积.�所以�—�,即�—�④�:�⋯��成立.�
充分性�
��主要结论及证明�
由��、,�,④��⋯��,则有维���
由引理�可以有下列结论:�维�,�⋯�维�。�咒,故�可对角化.�
定理��数域�上的�级方阵�的特征多项�由引理�可以有下列结论:�
式在数域�中有�个不同的根,即有,�个不同的�定理��复数域上�级方阵�可对角化的充�
特征值,则�可对角化.�分必要条件是�的最小多项式没有重根.�
定理��复数域上,�级方阵�的特征多项式�证明�必要性�
没有重根,则�可对角化.�若�可对角化,则存在可逆矩阵�,使得�
由引理