文档介绍：宏观定态的概率分布
倪致祥金彪储浩
(阜阳师范学院物理系,阜阳 236032)
摘要:定量给出了宏观定态的稳度概念,并研究了在随机扰动下各定态出现的概率与稳度之间的关系。
关键词:宏观定态,稳度,概率
根据量子力学,微观系统存在定态[1]。在热平衡的情况下,微观粒子各定态出现的概率由该状态的能量决定[2]。我们发现,在宏观条件下,刚体也存在着类似的概念,在随机扰动的情况下,定态出现的概率由该状态的稳度决定。
不失一般性,我们考虑一个各表面均为平面的刚体。如果以某个表面为支面,当物体重力的作用线落在该表面内时,该物体处于稳定的宏观平衡状态,简称宏观定态,否则为不平衡状态,简称非宏观定态。在无限小扰动下,处于宏观定态的物体不会偏离原来的状态。
h
a
b
同一物体可以具有几个宏观定态,在有限扰动下,物体可以从一个宏观定态跃迁到另一个不同宏观定态。对于相同的随机扰动,容易发生跃迁的宏观定态的稳定性程度较低,反之稳定性程度较高。根据经验,物体重心与支面的距离越小,与支面边界线的水平距离越大,物体就越稳定。为了定量描述宏观定态平衡的稳定程度,下面我们定义一个无量纲的力学量——稳度,用符号 h 表示。
为了简化问题的讨论,我们考虑一个如右图所示均匀长方体。不失一般性,假定该长方体的长为a,宽为b,高为h。根据上面的分析,底面的稳度为
(1)
由于对同一物体,当它的长,宽,高同时扩大l倍时,稳度的大小不应该发生变化。即
(2)
令l = 1/h ,我们不难得到
(3)
这就是稳度与其它力学参数之间的函数关系,从经验可以知道函数g为自变量的单调增加函数,但其具体形式应该由理论分析和实验来确定。
从力学角度分析,要使该长方体在b边翻倒,需要的最少力矩为:
(4)
设该力水平作用于长方体的重心,即力臂为h/2,因此扰动的作用力为
(5)
由于稳度应该是一个无量纲的物理量,我们可用扰动作用力DF与物体重力mg之比来表示稳度的大小,即
(6)
同理,要使使该长方体在a边翻倒,稳度的表达式应该为
(7)
这与前面的定性分析完全一致。
考虑到各边的等价性与公式(3)的要求,可以合理的假设
(8)
下面我们考虑物体稳度为 h 的一个宏观定态。在随机扰动时,该状态出现的概率应该与稳度 h 有关,随着稳度的增大而增大,即概率p 是稳度的单调增函数,可以写成
(9)
显然当 h = 0时,概率p = 0;当 h = ¥ 时,概率 p = 1,f (h) 的具体形式应该由实验确定。
当物体具有多个定态时,由于概率具有归一化的要求,因此在多定态的情况下,实际概率存在一个归一化因子A,即
(10)
其中因子A可由归一化条件确定。
根据我们的实验,概率函