文档介绍：(小)值与导数
高二数学选修1-1 第三章导数及其应用
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
复习:一、函数单调性与导数关系
如果在某个区间内恒有,则为常数.
设函数y=f(x) 在某个区间内可导,
f(x)为增函数
f(x)为减函数
二、函数的极值定义
设函数f(x)在点x0附近有定义,
如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0);
如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0);
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
使函数取得极值的点x0称为极值点
x
o
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
观察下列图形,你能找出函数的极值吗?
观察图象,我们发现, 是函数y=f(x)的极小值, 是函数y=f(x)的极大值。
求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域
(2)求函数的导数f’(x)
(3)求方程f’(x)=0的根
(4)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
(5)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况
左正右负极大值,
左负右正极小值
在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们与函数极值关系如何?
新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
知识回顾
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值
:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最小值
观察下列图形,你能找出函数的最值吗?
x
o
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
x
o
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值
因此:该函数没有最值。
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
x
o
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
如何求出函数在[a,b]上的最值?
一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象:
发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值是_______。
f(x1)、f(x3)
f(x2)
f(b)
f(x3)
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?
x
X2
o
a
X3
b
x1
y
y=f(x)