文档介绍：课题:含有绝对值的不等式(1)
教学目的:
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、推理的思维能力, 使学生树立创新意识;
3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质;
、灵活性
教学重点:含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用
教学难点:对性质的理解、常见证明技巧
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
前面我们已学过不等式的性质和证明方法,这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题
我们知道,当a>0时,
|x|<a-a<x<a,
|x|>ax>a或x<-a
根据上面的结果和不等式的性质,我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质
二、讲解新课:
定理:
证明:∵
①
又∵a=a+b-b |-b|=|b|
由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| ②
综合①②:
注意:1° 左边可以“加强”同样成立,即
2° 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
3° a,b同号时右边取“=”,a,b异号时左边取“=”
推论1:≤
推论2:
证明:在定理中以-b代b得:
即
三、讲解范例:
例1 已知|x|<,|y|<,|z|<, 求证|x+2y-3z|<ε
证明:|x+2y-3z|≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z|
∵|x|<,|y|<,|z|<,
∴|x|+2|y|+3|z|<
∴|x+2y-3z|<ε
说明:此例题主要应用了推论1,其中出现的字母ε,其目的是为学生以后学习微积分作点准备
例2 设a, b, c, d都是不等于0的实数,求证≥4
证明:∵
∴①
②
又③
由①,②,③式,得
说明:此题作为一个含绝对值的不等式,在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质,在证法上采用的是综合法
例3 已知|a|<1,|b|<1,求证<1
证明:<1<1
由|a|<1,|b|<1,可知(1-a2)(1-b2)>0成立,所以<1
说明:此题运用了|x|<ax2<a2这一等价条件将绝对值符号去掉,并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性,并用到了绝对值的有关性质,也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性
例4 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2
证明:当a+b与a-b同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2
当a+b与a-b异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2
∴|a+b|+|a-b|<2
例5 已知当a¹b时求证:
证法一:
O
A
B
a
b
1
证法二:(构造法)如图,
,由三角形两边之差小于第三边得
四、课堂练习:
已知:|x-1|≤1,
求证:(1)|2x+3|≤7; (2)|x2-1|≤3
证明:(1)∵|2x+3|=|2(x-1)+5|≤2|x-1|+5≤2+5=7
(2)|x2-1|=|(x+1)(x-1)|=|(x-1)[(x-1)+2]|
≤|x-1||(x-1)+2|≤|x-1|+2≤1+2=3
五、