文档介绍：课题:算术平均数与几何平均数(1)
教学目的:
1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理
2理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等
,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神,进一步加强学生的实践能力
教学重点:均值定理证明
教学难点:等号成立条件
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,是同向不等式异向不等式:两个不等号方向相反的不等式例如:a>b,c<d,是异向不等式
:
定理1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.(对称性)
即:a>bb<a;b<aa>b
定理2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)
即a>b,b>ca>c
定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.
即a>ba+c>b+c
推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)
即a>b, c>d a+c>b+d.
定理4:如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
推论1 如果a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.(相乘法则)
推论2 若
定理5 若
二、讲解新课:
:
如果
证明:
当
所以,,即
由上面的结论,我们又可得到
:如果a,b是正数,那么
证明:∵
,即
显然,当且仅当
说明:ⅰ)我们称的算术平均数,称的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ⅱ)成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数
ⅲ)“当且仅当”的含义是充要条件
“半径不小于半弦”
以长为a+b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么,即
这个圆的半径为,显然,它不小于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合;即a=b时,等号成立
三、讲解范例:
例1 已知x,y都是正数,求证:
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
证明:因为x,y都是正数,所以
(1)积xy为定值P时,有
上式当时,取“=”号,因此,当时,和有最小值
(2)和x+y为定值S时,有
上式当x=y时取“=”号,因此,当x=y时,积xy有最大值
说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:
ⅰ)函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;
ⅲ)等号成立条件必须存在
例2 已知:(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证:
分析:本题结论中,注意互为倒数,它们的积为1,可利用公式a+b≥2,但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发,经过变形,说明为正数开始证题
证明:∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx)
∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx
∴ax-ay+by-bx>0