文档介绍：课题:不等式的证明(1)
教学目的:
以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式
教学重点:比较法的应用
教学难点:常见解题技巧
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:
如果
:如果a,b是正数,那么
3公式的等价变形:ab≤,ab≤()2
4. ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
二、讲解新课:
(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论
(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论
三、讲解范例:
例1 求证:x2 + 3 > 3x
分析:由比较法证题的方法,先将不等式两遍作差,得(x2 + 3) - 3x=
,将此式看作关于x的二次函数,易知有最小值,由配方法易证
证明:∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
例2 已知a, b, m都是正数,并且a < b,求证:
分析:这是一道分式不等式的证明题,依比较法证题步骤先将其作差,然后通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符号,从而求证
证明:
∵a,b,m都是正数,并且a<b,∴b + m > 0 , b - a > 0
∴即
思考:若a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断?
例3 已知a, b都是正数,并且a ¹ b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
分析:依题目特点,作差后重新组项,采用因式分解方法来变形
证明:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ¹ b,∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即 a5 + b5 > a2b3 + a3b2
例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m行走,另一