文档介绍：课题:不等式的证明(3)
教学目的:
1. 掌握分析法证明不等式;
——执果索因;
教学重点:分析法
教学难点:分析法实质的理解
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:
如果
:如果a,b是正数,那么
3公式的等价变形:ab≤,ab≤()2
4. ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论
:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是:
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法
二、讲解新课:
1分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法
:
:执果索因
:
要证明命题B为真,
只需要证明命题为真,从而有……
这只需要证明命题为真,从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真,故命题B必为真
三、讲解范例:
例1 求证
证明:因为都是正数,所以为了证明
只需证明
展开得
即
因为成立,所以
成立
即证明了
说明:①分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,
这只需要证明命题B1为真,从而有……
这只需要证明命题B2为真,从而又有……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真,故B必真
例2 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为L,则周长为L的圆的半径为,截面积为;周长为L的正方形边长为,截面积为所以本题只需证明
证明:设截面的周长为L,依题意,截面是圆的水管的截面面积为,截面是正方形的水管的截面面积为,所以本题只需证明
为了证明上式成立,只需证明
两边同乘以正数,得
因此,只需证明
上式是成立的,所以
这就证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
说明:对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的
四、课堂练习:
已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立
(2)当ac+bd>0时,