文档介绍：课题:不等式的证明(5)
教学目的:
要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式;
教学重点: 放缩法
教学难点:反证法
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:
如果
:如果a,b是正数,那么
3公式的等价变形:ab≤,ab≤()2
4. ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论
:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是:
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法
9分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是:
分析法的思维特点是:执果索因
分析法的书写格式:
要证明命题B为真,
只需要证明命题为真,从而有……
这只需要证明命题为真,从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真,故命题B必为真
10三角换元:
若0≤x≤1,则可令x = sinq ()或x = sin2q ()
若,则可令x = cosq , y = sinq ()
若,则可令x = secq, y = tanq ()
若x≥1,则可令x = secq ()
若xÎR,则可令x = tanq ()
11代数换元:“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法
二、讲解新课:
1放缩法:
2反证法:
三、讲解范例:
例1若a, b, c, dÎR+,求证:
证明:(用放缩法)记m =
∵a, b, c, dÎR+
∴
∴1 < m < 2 即原式成立
例2当 n > 2 时,求证:
证明:(用放缩法)∵n > 2 ∴
∴
∴n > 2时,
例3 求证:
证明:(用放缩法)
∴
:
例4 设0 < a, b, c < 1,求证:(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于
证明:(用反证法)设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,
则三式相乘:(1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a > ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理,
将以上三式相乘(1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤此与①矛盾
∴(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于
例4 已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0
证明:(用反证法)设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又