文档介绍：课题:不等式的证明(6)
教学目的:
要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式
教学重点:构造法
教学难点: 构造法
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:
如果
:如果a,b是正数,那么
3公式的等价变形:ab≤,ab≤()2
4. ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
:如果,那么(当且仅当时取“=”)
(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论
:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是:
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法
9分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是:
分析法的思维特点是:执果索因
分析法的书写格式:
要证明命题B为真,
只需要证明命题为真,从而有……
这只需要证明命题为真,从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真,故命题B必为真
10三角换元:
若0≤x≤1,则可令x = sinq ()或x = sin2q ()
若,则可令x = cosq , y = sinq ()
若,则可令x = secq, y = tanq ()
若x≥1,则可令x = secq ()
若xÎR,则可令x = tanq ()
11代数换元:“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法
:
:
二、讲解新课:
构造法:构造函数法; 构造方程法; 构造图形法
三、讲解范例:
例1已知x > 0,求证:
证明:(构造函数法)构造函数,, 设2≤a<b
由
显然∵2≤a<b ∴a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 ∴上式> 0
∴f (x)在上单调递增,∴左边
例2 求证:
证明:(构造函数法)设则
令 3≤t1<t2 则
∴f (t)在上单调递增,
例2 已知实数a, b, c,满足a + b + c = 0和abc = 2,求证:a, b, c中至少有一个不小于2
证明:(构造方程法)由题设显然a, b, c中必有一个正数,不妨设a > 0,
则即b, c是二次方程的两个实根
∴ a≥2
例3 求证:
证明:(构造方程法)设,
则(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0
当 y = 1时,命题显然成立
当 y ¹ 1时,△= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0,∴
综上所述,原不等式成立(此法也称判别式法)
例5 已知0 < a < 1,0 < b <