文档介绍：课题:(一)平行与垂直
教学目的:
,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力.
,培养学生的成功意识,激发学生学行和垂直的条件
教学难点:两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
直线名称
已知条件
直线方程
使用范围
示意图
点斜式
斜截式
两点式
(
截距式
一般式
A、B、C
二、讲解新课:
.
当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;
(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直
.
设直线和的斜率为和,它们的方程分别是:
:; :.
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的,两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的,所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征
⑴两条直线平行(不重合)的情形.
如果,那么它们的倾斜角相等:,∴.即=.
反过来,如果两条直线的斜率相等,=,°≤<180°, 0°≤<180°,∴.∵两直线不重合,∴.
两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即=且
要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立.
思考1:已知直线、的方程为:,
:
求证:∥的充要条件是
⑵两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是和,则这两条直线垂直的充要条件是.
用倾斜角的关系推导:如果,这时,否则两直线平行设,甲图的特征是与的交点在x轴上方;乙图的特征是与的交点在x轴下方;丙图的特征是与的交点在x轴上,无论哪种情况下都有
.因为和的斜率为和,即,所以
,即或
反过来,如果或.
两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直,即
用向量关系推导:设直线和的斜率分别是和,则直线有方向向量,直线有方向向量,根据平面向量的有关知识,有
即
所以,如果两条直线的斜率分别是和,则这两条直线垂直的充要条件是.
思考2:已知直线和的一般式方程为:,
:,则
三、讲解范例:
例1 两条直线: , :.
求证:∥
证法一:因为:,:
所以=且,∴.
证法二:∵,∴
例2 求过点且与直线平行的直线方程.
解一:已知直线的斜率为,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是
根据点斜式,得到所求直线的方程是
即.
解二:设与直线平行的直线的方程为
,
∵经过点,∴,解之得
∴所求直线方程为.
注意:①解法一求直线方程的方法是通法,必须掌握;
②解法二是常常采用