文档介绍：课题:(五)
教学目的:
1. 掌握两条直线平行与垂直的条件,掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式;
教学重点:两条直线平行和垂直的条件应用
教学难点:两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题
授课类型:练习课
课时安排:2课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、知识点汇总:
.
当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;
(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直
:
两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即=且
已知直线、的方程为:,
:
∥的充要条件是
⑵两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是和,则这两条直线垂直的充要条件是.
已知直线和的一般式方程为:,
:,则.
:
直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角:0°<<180°, 如果如果,
:
到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,⊥时,:0°<≤90°
如果如果,
两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
是否有惟一解
:
点到直线的距离为:
已知两条平行线直线和的一般式方程为:,
:,则与的距离为
二、直线系方程
若两条直线:,:有交点,则过
与交点的直线系方程为+或+ (λ为常数)
三、讲解范例:
例1 两条直线和的交点在第四象限,则的取值范围是( )
A.(-6,2) B.(-,0) C.(-,-)D.(,+∞)
解法一:解方程组得交点为(-)
∵此点在第四象限
∴
∴-,故选C.
解法二:如图,直线与x轴的交点是A(4,0),方程表示的是过定点P(-2,1)的一组直线,其中PB为过点P且与平行的直线
由于直线的交点在第四象限,因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间,其余率<<
而=-,=-,所以-<<- 故选C.
评述:有关直线的交点问题,可以通过方程用代数的方法解决,也可结合图形用几何的方法解决,让学生予以体会
例2 求证:不论为什么实数,直线都通过一定点
证法一:取=1,得直线方程=-4;再取=,得直线方程为x=9.
从而得两条直线的交点为(9,-4),又当=9,=-4时,有
即点(9,-4)在直线上,
故直线都通过定点(9,-4)
证法二:∵,∴(x+2-1)-(x+-5)=0,
则直线都通过直线+2-1=0与+-5=0的交点.
由方程组,解得=9,=-4,即过点(9,-4)
所以直线经过定点(9,-4).
证法三:∵(,
∴(+2-1)=+-5
由为任意实数,知关于的一元一次方程(+2-1)=+-5的解集为R,
∴,解得=9,=-4
所以直线都通过定点(9,-4)
例3 若,求证直线必经过一个定点.
证明:由,且不同时为0,设≠0,则
代入直线方程,得(-)+(-1)=0.
此方程可视为过直线-=0与-1=0的交点的直线系方程.
解方程组得=1,=1
即两直线交点为(1,1),故直线过定点(1,1).
点评:以上例题是直线系的应用问题
例4已知点A的坐标为(-4,4),直线的方程为3+-2=0,求:
(1)点A关于直线的对称点A′的坐标;
(2)直线关于点A的对称直线的方程.
解:(1)设点A′的坐标为(′,′).
因为点A与A′关于直线对称,所以AA′⊥,且AA′的中点在上,而直线的斜率是-3,所以′=.
又因为=
再因为直线的方程为3+-2=0,AA′的中点坐标是(),所以3·-2=0
由①和②,解得′=2,′=′点的坐标为(2,6)
(2)关于点A对称的两直线与互相平行,于是可设的方程为3++c=(0,2),其关于点A对称的点为M′(′,′),于是M′点在上,且MM′的中点为点A,由此得
,即:′=-8,′=6.
于是有M′(-8,6).因为M′点在上,
所以3(-8)+6+=0,∴=18
故直线的方程为3++18=0
例5光线由点射出,遇到直线:后被反射,已知其,求反射光线所在直线的方程.
解:设点A关于的对