文档介绍：第七章梁弯曲时的变形
§7−1 概述
图7−1所示的简支梁,任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移,称为挠度,用y表示;横截面绕中性轴转动的角度,称为该截面的转角,用θ表示,如图中C截面转过的角度θ即为C截面的转角。
C'
θ
C
B
A
图7−1
y
xy
y
θ
梁变形后的轴线可用下式表示:
(7−1)
称为挠曲线方程。
(7−2)
称为转角方程。
§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
在小变形情况下,梁的挠曲线为一平坦的曲线,挠曲线近似微分方程为
(7−3)
式中的正负号取决于与的正负号的规定。在如图11−2所示的坐标系中,y轴以向下为正,当M(x)>0时,梁的挠曲
x
x
y
y
O
O
M<0
M
M
M
M
图7−2
M>0
线向下凸,此时;当M(x)<0时,梁的挠曲线向上凸,此时。与的符号关系如图11−2所示。这样,在图示坐标系中,与的符号总是相反,所以式(7−3)中应取负号,即:
(7−4)
对该挠曲线近似微分方程进行积分,可求得任一截面的挠度及转角。
当梁为等截面直梁时,弯曲刚度EI为常数,对式(7−4)积分一次,得
(7−5)
再积分一次,可得
(7−6)
以上两式中,C、D为积分常数,可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁(图7−3a)中,A、B支座处的挠度都等于零;在悬臂梁(图7−3b)中,固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后,代入式(7−5)、(7−6),便可求得梁的转角方程和挠曲线方程,进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。
x
x
y
θA=0
A
图7−3
yB=0
yA=0
(a)
y
B
yA=0
(b)
例题7−1 图示等截面悬臂梁AB,在自由端作用一集中力F,梁的弯曲刚度为EI,试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度ymax和最大转角θmax。
M(x)
A
B
x
F
EI
y
l
x
例题7−1图
(a)
l−x
(b)
FS(x)
F
解:(1)列出梁的弯矩方程
建立坐标系如图a所示,取x处横截面右边一段梁作为脱离体(图b),弯矩方程为:
(a)
(2)建立梁的挠曲线近似微分方程
由式(7−4)得:
(b)
(3)对微分方程二次积分
积分一次,得:
(c)
再积分一次,得:
(d)
(4)利用梁的边界条件确定积分常数
在梁的固定端,横截面的转角和挠度都等于零,即:
时,,
代入式(c)、(d),求得C=0,D=0。
(5)给出转角方程和挠曲线方程
(e)
(f)
(6)求最大挠度和最大转角
根据梁的受力情况和边界条件,可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x=l处。将x=l代入(e)、(f)两式,则可求得最大转角及最大挠度分别为:
挠度为正,说明梁变形时B点向下移动,转角为正,说明横截面B沿顺时针方向转动。
用积分法计算梁的位移时,应先写出梁的弯矩方程,建立梁的挠曲线近似微分方程,然后通过积分得到转角和挠曲线方程式,积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时,应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似