全国初中数学竞赛辅导（初2）第05讲 恒等式的证明.doc

文档介绍：第五讲恒等式的证明
代数式的恒等变形是初中代数的重要内容,它涉及的基础知识较多,主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则,因式分解的知识与技能技巧等等,,然后进行例题分析.
两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等.
,就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等.
证明恒等式,没有统一的方法,需要根据具体问题,采用不同的变形技巧,:一类是无附加条件的恒等式证明;,同学们要善于利用附加条件,.

恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式).
例1 已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.
分析将左边展开,利用条件x+y+z=xyz,将等式左边化简成右边.
证因为x+y+z=xyz,所以
左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)
=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右边.
说明本例的证明思路就是“由繁到简”.
例2 已知1989x2=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且

证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k>0),则


又因为

所以

所以

说明本例的证明思路是“相向趋进”,在证明方法上,通过设参数k,使左右两边同时变形为同一形式,从而使等式成立.


a=b(比商法).这也是证明恒等式的重要思路之一.
例3 求证:

分析用比差法证明左-右=,

这个式子具有如下特征:如果取出它的第一项,把其中的字母轮换,即以b代a,c代b,a代c,则可得出第二项;若对第二项的字母实行上述轮换,则可得出第三项;对第三项的字母实行上述轮换,,可使轮换式的运算简化.
证因为


所以

所以

,是分式恒等变形中的常用技巧.
:
(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).

同理

所以


所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)