文档介绍：第七讲根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础,在进行根式运算时,往往用到绝对值、整式、分式、因式分解,以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法,也就是说,根式的运算,,然后进行例题分析. 二次根式的性质: 二次根式的运算法则: 设a,b,c,d,m是有理数,且m不是完全平方数,则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时,如果它们的积不含有二次根式,则这两个代数式互为有理化因式. 例1化简: 法是配方去掉根号,所以因为x-2<0,1-x<0,所以原式=2-x+x-1=1. =a-b-a+b-a+b=b-a. 说明若根式中的字母给出了取值范围,则应在这个范围内进行化简;若没有给出取值范围,则应在字母允许取值的范围内进行化简. 例2化简: 分析两个题分母均含有根式,若按照通常的做法是先分母有理化,,再化简. 解法1配方法. 配方法是要设法找到两个正数x,y(x>y),使x+y=a,xy=b,则解法2待定系数法. 例4化简: (2)这是多重复合二次根式,可从里往外逐步化简. 分析被开方数中含有三个不同的根式,且系数都是2,可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352. 因为x,y,z均非负,所以xyz≥0,所以xyz=35.⑤⑤÷②,有z==5,y=,y,z显然满足①,所以解设原式=x,则解法1利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解. 将方程左端因式分解有(x-4)(x2+4x+10)=0. 因为 x2+4x+10=(x+2)2+6>0, 所以x-4=0,x==4. 解法2 说明解法2看似简单,但对于三次根号下的拼凑是很难的,因此本题解法1是一般常用的解法. 例8化简: 解(1) 本小题也可用换元法来化简. 解用换元法. 解直接代入较繁,观察x,y的特征有所以 3x2-5xy+3y2=3x2+6xy+3y2-11xy =3(x+y)2-11xy =3×102-11×1=289. 例11求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简,不可一味蛮算. 解设根号内的式子为A,注意到1=(2-1),及平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,所以 A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(2256+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(2256+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)…(2256+1)+1 =…=(2256-1)(2256+1)+1 =22×256-1+1=22×256, 的值. 分析与解先计算几层,看一看有无规律可循. ,利用根号的层数是无限的特点,有两边平方得两边再平方得 x4-4x2+4=2+x,所以x4-4x2-x+2=0. 观察发现,当x=-1,2时,,方程左端必有因式(x+1)(x-2),将方程左端因式分解,有(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0. 解因为练习七 : : :