文档介绍：第十三讲梯形
与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本讲就来研究它们的有关性质的应用.
例1 如图2-,E是斜边AB上的中点,D是AC的中点,DF∥:四边形EBFD是等腰梯形.
分析因为E,D是三角形ABC边AB,AC的中点,所以ED∥,还要证明(1)EB=DF;(2)EB不平行于DF.
证因为E,D是△ABC的边AB,AC的中点,所以
ED∥BF.
又已知DF∥EC,所以ECFD是平行四边形,所以
EC=DF. ①
又E是Rt△ABC斜边AB上的中点,所以
EC=EB. ②
由①,②
EB=DF.
下面证明EB与DF不平行.
若EB∥DF,由于EC∥DF,所以有EC∥EB,这与EC与EB交于E矛盾,所以EBDF.
根据定义,EBFD是等腰梯形.
例2 如图2-, AD∥BC, AD<BC,AB=AC且AB⊥AC,BD=BC,AC,∠BCD的度数.
分析由于△BCD是等腰三角形,若能确定顶点∠CBD的度数,则底角∠△ABC可求知斜边BC(即BD),即Rt△,求出∠BCD的度数.
解过D作DE⊥EC于E,则DE的长度即为等腰Rt△=a,由于△ABF也是等腰直角三角形,由勾股定理知
AF2+BF2=AB2,
即
又
BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2,
由于BC=DB,所以,在Rt△BED中,
从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理).在△CBD中,
例3 如图2-,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分线交BC于N,交AB延长线于F,:AD=BF.
分析 MF是DC的垂直平分线,所以ND=∥BC及∠ADC=135°知,∠C=45°,从而∠NDC=45°,∠DNC=90°,所以ABND是矩形,进而推知△BFN是等腰直角三角形,从而AD=BN=BF.
,所以ND=,AD∥BC及∠ADC=135°知
∠C=45°,
从而
∠NDC=45°.
在△NDC中,
∠DNC=90°(=∠DNB),
所以ABND是矩形,所以
AF∥ND,∠F=∠DNM=45°.
△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形,所以BN=
AD=BN,
所以 AD=BF.
例4 如图2-,∠C=90°,AD∥BC,AD+BC=AB,=2,BC=8,求△ABE的面积.
分析由于AB=AD+BC,即一腰AB的长等于两底长之和,它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质,我们将在下一讲中深入研究它,这里只引用它的结论).取腰AB的中点F,
(或BC).过A引AG⊥BC于G,交EF于H,则AH,GH分别是△AEF与△B