文档介绍：第十六讲相似三角形(二)
上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明,本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用.
例1 如图2-76所示.△ABC中,AD是∠:AB∶AC=BD∶DC.
分析设法通过添辅助线构造相似三角形,这里应注意利用角平分线产生等角的条件.
证过B引BE∥AC,∠BAC,所以∠1=∠∥AC,所以
∠2=∠3.
从而∠1=∠3,AB=
△BDE∽△CDA,
所以 BE∶AC=BD∶DC,
所以 AB∶AC=BD∶DC.
说明这个例题在解决相似三角形有关问题中,常起重要作用,,这个命题将在练习中出现,请同学们自己试证.
在构造相似三角形的方法中,利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等),将等角“转移”到合适的位置,形成相似三角形是一种常用的方法.
例2 如图 2-△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,:EF∥AB.
分析利用角平分线分三角形中线段成比例的性质,构造三角形,设法证明△MEF∽△MAB,从而EF∥AB.
证过B引BG∥AC交AE的延长线于G,∠BAC的平分线,所以
∠BAE=∠CAE.
因为BG∥AC,所以
∠CAE=∠G,∠BAE=∠G,
所以 BA=BG.
又BD⊥AG,所以△ABG是等腰三角形,所以
∠ABF=∠HBF,
从而
AB∶BH=AF∶FH.
又M是BC边的中点,且BH∥AC,易知ABHC是平行四边形,从而
BH=AC,
所以 AB∶AC=AF∶FH.
因为AE是△ABC中∠BAC的平分线,所以
AB∶AC=BE∶EC,
所以 AF∶FH=BE∶EC,
即
(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形,所以AM=MH及BM=MC.).由合分比定理,上式变为
AM∶MB=FM∶ME.
在△MEF与△MAB中,∠EMF=∠AMB,所以
△MEF∽△MAB
(两个三角形两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.).所以
∠ABM=∠FEM,
所以 EF∥AB.
例3 如图2-△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.
即可,为此若能设法利用长度分别为AB,BC,CA及l=AB+AC这4条线段,构造一对相似三角形,问题可能解决.
注意到,原△ABC中,已含上述4条线段中的三条,因此,不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线,构造一个三角形,使它与△ABC相似,期望能解决问题.
证延长AB至D,使BD=AC(此时,AD=AB+AC),又延长BC至E,使AE=AC,,△ADE∽△ABC.
设∠A=α,∠B=2α,∠C=4α,则
∠A+∠B+∠C=7α=180°.
由作图知,∠ACB是等腰三角形ACE的外角,所以
∠ACE=180°-4α=3α,
所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=