全国初中数学竞赛辅导（初2)第15讲 相似三角形.doc

文档介绍：第十五讲相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形,、对应边成比例的三角形,,三角形全等是相似的特殊情况,而三角形相似是三角形全等的发展,,在研究三角形相似问题时,,我们又必须同时注意它们之间的区别,这里,要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用.
关于相似三角形问题的研究,;下一讲深入研究相似三角形的进一步应用.
例1 如图2-64所示,已知AB∥EF∥CD,若AB=6厘米,CD=.
分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边,且AB∥EF∥CD,利用平行线分三角形成相似三角形的定理,可求EF.
解在△ABC中,因为EF∥AB,所以
同样,在△DBC中有
①+②得
设EF=x厘米,又已知AB=6厘米,CD=9厘米,代入③得

说明由证明过程我们发现,本题可以有以下一般结论:“如本题
请同学自己证明.
例2 如图2-65所示. ABCD的对角线交于O,OE交BC于E,=a,BC=b,BF=c,求BE.
分析本题所给出的已知长的线段AB,BC,BF位置分散,应设法利用平行四边形中的等量关系,通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来,为此,过O作OG∥BC,交AB于G,构造出△FEB∽△FOG,进而求解.
解过O作OG∥BC,,OG是△ABC的中位线,所以
在△FOG中,由于GO∥EB,所以

例3 如图2-△ABC中,∠BAC=120°,AD平分

分析因为AD平分∠BAC(=120°),所以∠BAD= ∠EAD=60°.若引DE∥AB,交AC于E,则△ADE为正三角形,从而AE=DE=AD,利用△CED∽△CAB,可实现求证的目标.
证过D引DE∥AB,∠BAC的平分线,∠BAC=120°,所以
∠BAD=∠CAD=60°.
又
∠BAD=∠EDA=60°,
所以△ADE是正三角形,所以
EA=ED=AD. ①
由于DE∥AB,所以△CED∽△CAB,所以

由①,②得
从而
例4 如图2-67所示. ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,:

分析与例2类似,求证中诸线段的位置过于“分散”,因此,应利用平行四边形的性质,通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证.
证延长CB与EG,其延长线交于H,如虚线所示,△EIH中,由于DF∥IH,所以

在△OED与△OBH中,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,OD=OB,
所以△OED≌△OBH(AAS).
从而
DE=BH=AI,

例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC,CA,AB(或其延长线)分别交于D,E,F(如图2-68所示).求

分析设法引辅助线(