文档介绍：第十四讲中位线及其应用
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.
例1 如图2-53所示.△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积.
分析由条件知,EF,,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长.
解由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以
由条件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米),
从而 AD=8(厘米),
由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以
BC=2EG=2×6=12(厘米),
显然,AD是BC上的高,所以
例2 如图 2-54 所示.△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H.
(1)求证:GH∥BC;
(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.
分析若延长AG,△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点;同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH∥BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度.
(1)证分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以
△ABG≌△MBG(ASA).
从而,
△ACH≌△NCH(ASA),
从而,△AMN的中位线,从而,HG∥MN,即
HG∥BC.
(2)解由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以
AB=BM=9厘米,=14厘米.
又BC=18厘米,所以
BN==18-14=4(厘米),
MC=BC-BM=18-9=9(厘米).
从而
MN=18-4-9=5(厘米),
说明(1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”.
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”.同学们不妨自己证明.
(3)从本题的证明过程中,我们得到启发:若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GH∥.
例3 如图2-,四边形BCPQ是平行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,:A′C′=B′D′.
分析由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩